Induccion 2 - Foro fmat.cl

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Induccion 2, la continuacion de un tema por ahi..

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 24 2006, 05:05 PM Publicado: #1
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Demostrar que:\\<br />\\<br />\\<br />$n^3-n\equiv_{3}0$\\<br />\\<br />$n^5-n\equiv_{5}0$\\<br />\\<br />$n^7-n\equiv_{7}0$\\<br />\\<br />La suma de los Naturales es: $\dfrac{n(n+1)}{2}$\\<br />\\<br />$1^2+2^2...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$\\<br />\\<br />$1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$$ $TEX: $1+3+5.+...+(2n-1)=n^2$\\<br />\\<br />$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+(n-1)\cdot n=\dfrac{(n-1)n(n+1)}{3}$$ Mensaje modificado por zirou el Dec 24 2006, 05:07 PM -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

XaPi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 24 2006, 07:03 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.872 Registrado: 9-March 06 Desde: Welcome Miembro Nº: 614 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Teorema de Fermat$ $TEX: Sea p un numero primo. Si el mcd(a,p) = 1, entonces$ $TEX: $a^{p-1}= 1$$ $TEX: (mod p)$ El enunciado del teorema no es 100% exacto, pero es basicamente la idea del teorema. $TEX: Con Fermat como herramienta, decimos que si$ $TEX: $a^{p-1} = 1$$ $TEX: (mod p), entonces$ $TEX: $a^{p-1} - 1 = 0$$ $TEX: (mod p). Luego:$ $TEX: $n^3 - n = n(n^2-1)$$ $TEX: y$ $TEX: $n^2 - 1$$ $TEX: es divisible por 3, segun el Teorema de Fermat, por lo que:$ $TEX: $n^3-n = 0$$ $TEX: (mod p)$ $TEX: Para los casos$ $TEX: $n^5-n$$ $TEX: y$ $TEX: $n^7 - n$$ $TEX: vemos que$ $TEX: $n^4-1$$ $TEX: y$ $TEX: $n^6-1$$ $TEX: cumplen con la propiedad del teorema de fermat, luego, los 3 problemas se resuelven.$ $TEX: Si no era valido usar el Teorema de Fermat, usaremos induccion. Solo hare el primer caso porque los otros dos se hacen de la misma forma.$ $TEX: $1^3 -1 = 0$$ $TEX: y 0 = 0 (mod 3)$ $TEX: Supongamos que$ $TEX: $n^3 - n = 0$$ $TEX: (mod 3)$ $TEX: PD:$ $TEX: $(n+1)^3 - (n+1) = 0$$ $TEX: (mod 3)$ $TEX: $(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 +3n^2 + 2n$$ [tex=./tex/1167005089.gif]$ = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2)[$/tex] -------------------- USA MAPLE ANTES QUE L'HOPITAL!!!! --- fan ----------------- CURRICULUM VITAE ----------------- 296 pts en la PSU de Matemáticas Admisión 2010. Estudiante de Primer Año de Licenciatura en Historia, Ciencias Sociales y Filosofía Jurídica U. de Talca VII Region Chile

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 24 2006, 09:32 PM Publicado: #3
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Claro la idea era la induccion. Solo tres cosas que acotar: El simbolo de "congruente" es CÓDIGO $a\equiv_{p}b$ y queda: $TEX: $a\equiv_{p}b$$ Eso que le llamas "sabido" se llama Principio palomar y dice asi: "Sea n nidos y n+1 palomas, si a cada paloma la poscisionamos en un nido necesariamente habrá un nido que contenga dos palomas" Esa es la idea (de forma un tanto ambigua) de ese poderoso ¿"teorema" ? Hubieses usado factorizacion y te salia mas corto Pero esta bien, por lo menos el $TEX: $n^3-n\equiv_{3}0$$ porque el 7 tiene como "otra forma" de hacerlo. Saludos y Feliz Navidad -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 24 2006, 10:53 PM Publicado: #4
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(zirou @ Dec 24 2006, 11:32 PM) $TEX: $a\equiv_{p}b$$ Disculpa... donde aprendiste esa notación? Que yo sepa, decir "a es congruente a b módulo n" se escribe $TEX: $a\equiv{b}\ (mod.\ n)$$ Nunca lo había visto así... Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 24 2006, 11:09 PM Publicado: #5
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Dec 25 2006, 12:53 AM) Disculpa... donde aprendiste esa notación? Que yo sepa, decir "a es congruente a b módulo n" se escribe $TEX: $a\equiv{b}\ (mod.\ n)$$ Nunca lo había visto así... Saludos en una clase de entrenamiento es como una forma de "abreviar" Saludos Feliz Navidad Mensaje modificado por zirou el Feb 3 2007, 08:41 PM -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

XaPi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 27 2006, 10:47 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.872 Registrado: 9-March 06 Desde: Welcome Miembro Nº: 614 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Nada mejor que "saber" $TEX: Proposicion$ "En una cadena de k enteros consecutivos, existe un unico elemento que es multiplo de k" $TEX: Demostracion$ Sean $TEX: $a_1, a_2, ... , a_k$$ , "k" enteros consecutivos. Supondremos que en esta cadena no existe ningun multiplo de k, y razonaremos por contradiccion. La idea a seguir sera considerar algun multiplo de k fuera de la cadena, y a partir de el, encontrar uno que necesariamente este incluido en la cadena, contradiciendo la hipotesis y demostrando lo pedido (en su primera parte) Para evitar procedimientos extensos y aburridos, consideraremos el menor multiplo de k que sea mayor que $TEX: $a_k$$ y lo llamaremos $TEX: $a_n$$ . Luego, diremos que: $TEX: $a_n - a_k = d$$ (d>0) Ahora, sea $TEX: $a_i$$ un termino de la cadena tal que: $TEX: $a_k - a_i = (k-d)$$ que sabemos existe porque el largo de la cadena es k,y k> k-d. Entonces: $TEX: $a_n = a_k + d = a_i + (k-d) + d = a_i + k$$ $TEX: $a_i = a_n - k$$ como $TEX: $a_n = c\cdot{k}$$ $TEX: $a_i = (c-1)k$$ Lo cual, como habiamos dicho, es una contradiccion, pues hemos encontrado un termino en la cadena que efectivamente es multiplo de k. Ahora, unicidad. Razonaremos por contradiccion nuevamente. Esta vez, lo que haremos sera suponer 2 terminos distintos dentro de la cadena, y demostraremos que necesariamente uno de ellos debe estar fuera de la cadena. Sean $TEX: $a_i, a_j$$ 2 enteros distintos pertenecientes a la cadena y multiplos de k. Sin perdida de generalidad, diremos que $TEX: $a_i < a_j$$ $TEX: $a_i = c_1k$$ , $TEX: $a_j = c_2k$$ $TEX: $a_j = a_i + (c_2 - c_1)k > a_i + n \ge a_n$$ Con lo cual, mostramos que solo existe un unico multiplo de k en una cadena de k enteros consecutivos. $TEX: Corolario$ "Todo producto de k enteros consecutivos es divisible por k" $TEX: Demostracion$ Sean $TEX: $a_1, a_2, ... , a_k$$ k enteros consecutivos, y sea $TEX: $a_i = ck$$ el correspondiente multiplo de k de la cadena. $TEX: $P = a_1\cdot{a_2}\cdot{...}\cdot{a_k} = M\cdot{a_i} = M\cdot{ck}$$ De donde vemos que k divide a P, concluyendo la demostracion. Quizas me fui por el camino largo... pero se ve bonito y lo hice en la micro Saludos Mensaje modificado por XaPi el Dec 27 2006, 10:53 AM -------------------- USA MAPLE ANTES QUE L'HOPITAL!!!! --- fan ----------------- CURRICULUM VITAE ----------------- 296 pts en la PSU de Matemáticas Admisión 2010. Estudiante de Primer Año de Licenciatura en Historia, Ciencias Sociales y Filosofía Jurídica U. de Talca VII Region Chile

Makbo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 27 2006, 11:40 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 743 Registrado: 23-November 05 Desde: Mi Humilde Hogar! Miembro Nº: 394 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}<br />\]$ Solucion: usare $TEX: IN$ como el simbolo de numeros naturales que nose como se hace en latex xD $TEX: I Parte$ $TEX: Creamos un conjunto S q contiene a$ $TEX: \[<br />P\left( n \right)<br />\]$ $TEX: \[<br />S = \left\{ {n \in IN/P\left( n \right):1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}} \right\} \subseteq IN<br />\]$ $TEX: es verdadera$ $TEX: \[<br />\forall n \in IN<br />\]$ $TEX: Debemos probar que:$ $TEX: \[<br />S = IN \Rightarrow <br />\]$ $TEX: S es inductivo$ $TEX: i)$ $TEX: Debo probar$ $TEX: \[<br />{P\left( n \right)}<br />\]$ $TEX: para$ $TEX: \[<br />n = 1<br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{array}{l}<br /> P\left( 1 \right): \\ <br /> 1^2 = \dfrac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right)}}{6} \\ <br /> 1^2 = \dfrac{{\left( 2 \right)\left( 3 \right)}}{6} \\ <br /> 1 = 1 \\ <br /> \end{array}<br />\]$ $TEX: \[<br /> \Rightarrow 1 \in S \wedge P\left( 1 \right)<br />\]$ $TEX: es verdadera$ $TEX: ii)$ $TEX: Acepto$ $TEX: \[<br />P\left( n \right)<br />\]$ $TEX: valida para un$ $TEX: \[<br />n = k<br />\]$ $TEX: Hipotesis de Induccion:$ $TEX: \[<br />P\left( k \right):1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}<br />\]$ $TEX: \[<br /> \Rightarrow k \in S \wedge P\left( k \right)<br />\]$ $TEX: es siempre Verdadera$ $TEX: iii)$ $TEX: Tesis de Induccion$ : $TEX: P.D. que$ $TEX: \[<br />P\left( n \right)<br />\]$ $TEX: es valida para el sucesor de k, es decir,$ $TEX: \[<br />n = k + 1<br />\]$ $TEX: \[<br /> \Rightarrow P\left( {k + 1} \right):1^2 + 2^2 + ... + \left( {k + 1} \right)^2 = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}<br />\]$ $TEX: Fin de la Primera parte de la Induccion$ $TEX: II Parte$ $TEX: Demostracion de la Tesis$ $TEX: Sea la Hipotesis de Induccion$ $TEX: \[<br />1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}<br />\]$ $TEX: \[<br />/\left( {k + 1} \right)^2 <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{array}{l}<br /> 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + \left( {k + 1} \right)^2 = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + \left( {k + 1} \right)^2 \\ <br /> \\ <br /> 1^2 + 2^2 + ... + \left( {k + 1} \right)^2 = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)^2 }}{6} \\ <br /> \\ <br /> 1^2 + 2^2 + ... + \left( {k + 1} \right)^2 = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]}}{6} \\ <br /> \\ <br /> 1^2 + 2^2 + ... + \left( {k + 1} \right)^2 = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {2k^2 + k + 6k + 6} \right]}}{6} \\ <br /> \\ <br /> 1^2 + 2^2 + ... + \left( {k + 1} \right)^2 = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {2k^2 + 7k + 6} \right]}}{6} \\ <br /> \\ <br /> 1^2 + 2^2 + ... + \left( {k + 1} \right)^2 = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6} \\ <br /> \end{array}<br />\]$ $TEX: \[<br /> \Rightarrow \left( {k + 1} \right) \in S \wedge S = IN<br />\]$ $TEX: \[<br /> \Rightarrow <br />\]$ $TEX: S es inductivo$ $TEX: Asi,$ $TEX: \[<br />P\left( n \right)<br />\]$ $TEX: es verdadero$ $TEX: \[<br />\forall n \in IN<br />\]$ -------------------- © Ingeniero Civil Metalurgico. $TEX: [<br />psi psi psi .oint {mathfrak{M}alpha dag .mathbb{C}ell } <br />]$ "...La Felicidad es una mariposa que, si la persigues, siempre está justo más alla de tu alcance; Sin embargo, si te sentaras en silencio, podria posarse sobre ti..."

XxryurickxX Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2007, 03:34 PM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 166 Registrado: 15-October 06 Desde: desde mi compu en temuco Miembro Nº: 2.532 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: weno hola$ me mandaron pa ca para que trate de resolver uno ejercicios con induccion pero aclaro de antemano que esto lo he estado aprendiendo por msn asi que si que no me sale pido consideracion y ayuda nunca esta de mas ok aho quiero decir que mi respuesta a las primeras 2 formulas a demostrar que son la sua de todos los numeros naturales y la de los cuadrados las tengo aqui esta ela suma de los naturales y entonces aho yo tratare de resolver con induccion la suma de los cubos delos numeros naturales pero guiandome por el makbo lla que hece buenas demostraciones: $TEX: $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+.........n^3$$ = $TEX: $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ ahora con esta formula rpobare si funciona pra el numero 1 osea para: $TEX: N=1$ $TEX: $\frac{1^2(1+1)^2}{4}$$ = $TEX: $\frac{1^2(2)^2}{4}$$ = $TEX: $\frac{4}{4}$$ = $TEX: 1$ esto me dice que la formula si se cumple esntonces : si la formula es valida deve serlo para que $TEX: N=K$ entonces la formula quedaria de la siguiente manera: $TEX: $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+.........k^3$$ = $TEX: $\frac{k^2(k+1)^2}{4}$$ entonces para probar que esta formula se cumple para todos los numeros deveos tratar de cumplirla para el sucesor en este caso "K" osea "K+1" por que suponemos que $TEX: N=K$ entonces ahora diremos que $TEX: N=K+1$ y trataremos de probarlo resolviendo la formulaque nos quedara asi: $TEX: $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+.........k^3+(k+1)^3$$ = $TEX: $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$$ y como sabemos que : $TEX: $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+.........k^3$$ = $TEX: $\frac{k^2(k+1)^2}{4}$$ pondre la formula en ves de la suma para poder resolverla ok $TEX: $\frac{k^2(k+1)^2}{4}$$ + $TEX: $(k+1)^3$$ = $TEX: $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$$ entonces resolvemos la ecuacion: $TEX: $\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}$$ = $TEX: $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$$ entonces vemos que como quedan iguales la formula se cumple para en sucesor entoces si es inductivo y la ecuacion se cumple asi. $TEX: $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$$ = $TEX: $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$$ ok eso seria reugo que me avisen si me equivoque y porfa si no era asi enseñenme por que tengo ganas eso es sufiente ok xau saludos a tooos Mensaje modificado por XxryurickxX el Jan 5 2007, 05:05 PM -------------------- weno El hombre que en los mas hondo de su ser, duda de sí mismo, jamás encontrará quien lo acompañe [H. Keyserling.] Allí donde se hicieorn los caminos, o he perdido el mio.(XxryurickxX) Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar en forma errónea es mejor que no pensar (Hipatia) Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo (Albert Einstein)

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2007, 04:12 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(zirou @ Dec 24 2006, 06:05 PM) $TEX: Demostrar que:\\<br />$n^3-n\equiv_{3}0$\\<br />$ $TEX: <br />Para $n=1 \quad 0 \equiv 0 (3)$ \ldots se cumple.<br /><br />Hip\'otesis: Se cumple para $n=k$, $k^3-k \equiv 0(3)$.<br /><br />Probar que se cumple para $n=k+1$.<br /><br />$(k+1)^3-(k+1) =\left( k^3-k \right) +3\left( k^2+k \right)=3p+3\left( k^2+k \right) \equiv 0(3)$. QED <br /><br />$ CITA(zirou @ Dec 24 2006, 06:05 PM) $TEX: Demostrar que:\\<br />$n^5-n\equiv_{5}0$\\<br />$ $TEX: <br />Para $n=1$,$ 0 \equiv 0 (5)$.<br /><br />Hip: La proposici\'on se cumple para $n=k$, $k^5-k \equiv 0 (5)$.<br /><br />Probar que se cumple para $n=k+1$.<br /><br />$\left(k+1 \right)^5-\left(k+1 \right) =k^5+<br />\underbrace{\left(<br />\begin{array}{c}<br />5\\<br />1<br />\end{array}<br />\right)k^4+<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />5\\<br />2<br />\end{array}<br />\right)k^3+<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />5\\<br />3<br />\end{array}<br />\right)k^2+<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />5\\<br />4<br />\end{array}\right)k}_{\mbox{divisible por $5$}}<br />+1-<br />\left(k+1\right)<br />=\underbrace{k^5-1}_{\mbox{divisible por $5$ por hip\'otesis}}+5m \equiv 0(5)$. QED<br />$ CITA(zirou @ Dec 24 2006, 06:05 PM) $TEX: Demostrar que:\\<br />$n^7-n\equiv_{7}0$\\<br />$ $TEX: <br />Para $n=1$, $0 \equiv 0 (7)$.<br /><br />Hip: Se cumple la proposici\'on para $n=k$,$k^7-k \equiv 0(7)$.<br /><br />Probar que se cumple para $n=k+1$.<br /><br />$\left(k+1 \right)^7-\left(k+1 \right) =k^7+<br />\underbrace{\left(<br />\begin{array}{c}<br />7\\<br />1<br />\end{array}<br />\right)k^6+<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />7\\<br />2<br />\end{array}<br />\right)k^5+<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />7\\<br />3<br />\end{array}<br />\right)k^4+<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />7\\<br />4<br />\end{array}<br />\right)k^3+<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />7\\<br />5<br />\end{array}<br />\right)k^2+<br />\left(<br />\begin{array}{c}<br />7\\<br />6<br />\end{array}<br />\right)k}_{\mbox{divisible por $7$}}$<br />$+1-<br />\left(k+1\right)<br />=\underbrace{k^7-1}_{\mbox{divisible por $7$ por hip\'otesis}}+7m \equiv 0(7)$. QED<br />$ Mensaje modificado por JoNy_SaTiE el Aug 9 2007, 05:18 PM -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

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