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Demuestre

Ditox Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2010, 09:30 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.039 Registrado: 4-October 09 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 59.794 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />$$\frac{2ab}{a+b}+\frac{2ac}{a+c}+\frac{2bc}{b+c}\le a+b+c\text{ \;\;\; }\forall a,b,c\text{ }\in \text{ }\mathbb{R}^{+}$$<br />$ --------------------

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2010, 11:55 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\displaystyle \frac{2ab}{a+b} + \displaystyle \frac{2ac}{a+c} + \displaystyle \frac{2bc}{b+c}\le a+b+c$<br />\\<br />\\Por Hy G, tenemos<br />\\<br />\\ $\displaystyle \frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}$<br />\\<br />\\ $\displaystyle \frac{2ac}{a+c}\le \sqrt{ac}$<br />\\<br />\\ $\displaystyle \frac{2bc}{b+c}\le \sqrt{bc}$<br />\\<br />\\sumando tenemos<br />\\<br />\\$\displaystyle \frac{2ab}{a+b} + \displaystyle \frac{2ac}{a+c} + \displaystyle \frac{2bc}{b+c}\le \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}$<br />\\<br />\\por AyG tenemos<br />\\$\sqrt{ab} \le \displaystyle \frac{a+b}{2}$<br />\\<br />\\$\sqrt{ac} \le \displaystyle \frac{a+c}{2}$<br />\\<br />\\$\sqrt{bc} \le \displaystyle \frac{b+c}{2}$<br />\\<br />\\sumando<br />\\<br />\\<br />\\$\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\le \displaystyle \frac{a+b}{2}+ \displaystyle \frac{a+c}{2}+\displaystyle \frac{b+c}{2}=\displaystyle \frac {2(a+b+c)}{2}=a+b+c$<br />\\<br />\\$\displaystyle \frac{2ab}{a+b} + \displaystyle \frac{2ac}{a+c} + \displaystyle \frac{2bc}{b+c}\le \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc} \le a+b+c$<br />\\<br />\\cumpliendose la igualdad con a=b=c<br />\\(Q.E.D) <br />\\<br />\\Saludos<br />$ Mensaje modificado por luis_fz el Jul 20 2010, 11:59 PM

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 21 2010, 12:01 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(luis_fz @ Jul 21 2010, 12:55 AM) $TEX: $\displaystyle \frac{2ab}{a+b} + \displaystyle \frac{2ac}{a+c} + \displaystyle \frac{2bc}{b+c}\le a+b+c$<br />\\<br />\\Por Hy G, tenemos<br />\\<br />\\ $\displaystyle \frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}$<br />\\<br />\\ $\displaystyle \frac{2ac}{a+c}\le \sqrt{ac}$<br />\\<br />\\ $\displaystyle \frac{2bc}{b+c}\le \sqrt{bc}$<br />\\<br />\\sumando tenemos<br />\\<br />\\$\displaystyle \frac{2ab}{a+b} + \displaystyle \frac{2ac}{a+c} + \displaystyle \frac{2bc}{b+c}\le \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}$<br />\\<br />\\por AyG tenemos<br />\\$\sqrt{ab} \le \displaystyle \frac{a+b}{2}$<br />\\<br />\\$\sqrt{ac} \le \displaystyle \frac{a+c}{2}$<br />\\<br />\\$\sqrt{bc} \le \displaystyle \frac{b+c}{2}$<br />\\<br />\\sumando<br />\\<br />\\<br />\\$\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\le \displaystyle \frac{a+b}{2}+ \displaystyle \frac{a+c}{2}+\displaystyle \frac{b+c}{2}=\displaystyle \frac {2(a+b+c)}{2}=a+b+c$<br />\\<br />\\$\displaystyle \frac{2ab}{a+b} + \displaystyle \frac{2ac}{a+c} + \displaystyle \frac{2bc}{b+c}\le \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc} \le a+b+c$<br />\\<br />\\cumpliendose la igualdad con a=b=c<br />\\(Q.E.D) <br />\\<br />\\Saludos<br />$ Cumpliendose la igualdad con a=b=c

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 21 2010, 12:19 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	luis_fz dos cosas: -Podrias haber tomado directamente AM-HM, no era necesaria la media geométrica, pero tu solución quedó elegante y es correcta. -Mi solución es distinta: Tenemos que $TEX: $(b-a)^2\ge 0 \implies a^2+b^2\ge2ab\implies (a+b)^2\ge 4ab$$ . Ahora bien como $TEX: $a,b,c \in \mathbb{R}^{+}$$ , podemos dividir la última desigualdad por $TEX: $(a+b)$$ conservando la relación, entonces: $TEX: $a+b\ge \dfrac{4ab}{a+b}\implies \dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{2ab}{a+b}$$ . Haciendo esto mismo para los pares de reales positivos $TEX: $a,c$$ y $TEX: $b,c$$ y sumando las desigualdades tenemos lo pedido en cuestión. $TEX: $\square$$ Dios los bendiga. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Ditox Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 21 2010, 12:33 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.039 Registrado: 4-October 09 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 59.794 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Excelente, bien chiquillos Lo de luis_fz fue lo que yo hice : D Mensaje modificado por Ditox el Jul 21 2010, 12:34 AM --------------------

Joacko Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 9 2010, 10:40 AM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 160 Registrado: 27-May 09 Desde: Santiago Miembro Nº: 52.384 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	La segunda parte de la demostracion es Media aritmetica y Geometrica, pero la primera parte es H y G, que significa eso?

Suicide Machine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 9 2010, 11:05 AM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 22-July 10 Miembro Nº: 74.494 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Joacko @ Oct 9 2010, 11:40 AM) La segunda parte de la demostracion es Media aritmetica y Geometrica, pero la primera parte es H y G, que significa eso? Media armónica y geométrica...

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