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Primera Olimpiada Interna (Preolímpica) FMAT, Interesados, entren y miren !

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 12 2010, 06:12 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Primera Olimpiada Interna (Preolímpica) FMAT ¡¡¡Anímate y Participa!!! El Ciclo Olímpico Chileno está por comenzar, el 28 de Agosto se realizará en todo Chile La Prueba Clasificatoria para la XXII Olimpiada Nacional de Matemática. Ésta es la competencia matemática más importante del país, organizada por la SOMACHI (Sociedad de Matemáticas de Chile), la cual tiene como objetivo descubrir jovenes talentos que cursan la Enseñanza Básica/Media. Esta competencia entrega una gran oportunidad de ampliar tus horizontes matemáticos, asi como poner a prueba tus habilidades y/o conocimientos, además de conocer a jóvenes que también disfrutan de este tipo de experiencias; es por eso que FMAT, tu Foro Matemático, te dará la oportunidad de que te prepares para rendir en mejores condiciones la Prueba Clasificatoria. Si eres alumno animate y participa!!!, e invita a tus amigos/compañeros que ingresen a FMAT. Si eres Profesor, motiva a tus alumnos a participar en las actividades que organizaremos. El objetivo de FMAT es brindarte la mejor preparación tanto para la Prueba Clasificatoria como para la Prueba Final. Para mayor información de la Competencia, pueden visitar la Web Oficial ver aquí. Ya son varias las Competencias que como Staff de tu Foro Matemático hemos organizado, ya sea para ayudarte a rendir la PSU (Maratones PSU), para que progreses en el Campo de las Matemáticas de Educación Superior (destacamos la Integral Maratón y la Maratón Universitaria organizada por coquitao entre otras) o para que ingreses en el mundo Olímpico y adquieras buenas herramientas para afrontar diversas Competencias que se realizan a nivel Nacional (entre ellas las Maratones Olímpicas de antaño, la Maratón del 2009 y 2010), en este campo es que queremos ahondar, pues ustedes son los primeros FMATIANOS que participarán en una nueva iniciativa: I Olimpiada Interna FMAT. Esperamos les agrade esta iniciativa y recalcamos que son los primeros y son responsables del éxito de este proyecto y de que esta iniciativa continúe y que llegue así a nuevas generaciones de "Olímpicos fmatianos". ¿Interesados?. Se les aconseja leer cuidadosamente el Reglamento y el topic de inscripción que se encuentra aquí http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=60153. Saludos a todos y Dios los bendiga. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2010, 11:01 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El plazo se cumplió, ustedes se inscribieron y ahora les queda participar... Sin más ni más damos inicio a esta GRAN INICIATIVA... Estimados... las mejores bendiciones en esta prueba, les desea éxito el Staff FMAT. Dios los bendiga. Iª OLIMPIADA INTERNA (PREOLÍMPICA) FMAT www.fmat.cl, 2010 Primera Prueba: Lunes 19 de Julio. $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 1$}$ Sea $TEX: $f(n)$$ , una función que cumple con las siguientes propiedades: Para cada natural $TEX: $n$$ , $TEX: $f(n)$$ es un entero mayor o igual a $TEX: $0$$ . $TEX: $f(n)=2010$$ , si $TEX: $n$$ termina en $TEX: $7$$ . Por ejemplo, $TEX: $f(137)=2010$$ . Si $TEX: $a$$ es divisor de $TEX: $b$$ , entonces: $TEX: $f\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)=\|f(b)-f(a)\|$$ . Determine $TEX: $\displaystyle f(2009^{2009^{2009}})$$ y justifique su respuesta. $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 2$}$ En un $TEX: $\triangle ABC$$ acutángulo, sean $TEX: $AD,BE,CF$$ sus alturas (con $TEX: $D,E,F$$ ubicados sobre $TEX: $BC,CA,AB$$ , respectivamente). Llamemos $TEX: $O,H$$ al circumcentro y al ortocentro del $TEX: $\triangle ABC$$ , respectivamente. Sea $TEX: $P=CF\cap AO$$ . Suponga que se cumplen las dos siguientes condiciones: $TEX: $FP=EH$$ Existe una circunferencia que pasa por los puntos $TEX: $A,O,H,C$$ Demuestre que el $TEX: $\triangle ABC$$ es equilátero. $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 3$}$ Sea $TEX: $\mathcal {P}$$ un polígono regular de $TEX: $4k+1$$ lados (donde $TEX: $k$$ es un natural) cuyos vértices son $TEX: $A_1, A_2,...,A_{4k+1}$$ (en ese orden). A cada vértice $TEX: $A_j$$ de $TEX: $\mathcal {P}$$ se le asigna un natural del conjunto $TEX: $\{1,2,...,4k+1\}$$ tal que no hay dos vértices con el mismo número asignado. Sobre $TEX: $\mathcal {P}$$ se realiza la siguiente operación: Sea $TEX: $B_j$$ el punto medio del lado $TEX: $A_jA_{j+1}$$ para $TEX: $j=1,2,...,4k+1$$ (donde se considera $TEX: $A_{4k+2}=A_1$$ ). Si $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ son los números asignados a $TEX: $A_{j}$$ y $TEX: $A_{j+1}$$ , respectivamente, al punto medio $TEX: $B_j$$ se le escribe el número $TEX: $7a-3b$$ . Al hacer esto con cada una de los $TEX: $4k+1$$ lados, se borran los $TEX: $4k+1$$ vértices dispuestos inicialmente. Diremos que un natural $TEX: $m$$ es fatal si para todo $TEX: $k$$ natural, no importa cómo se disponen inicialmente los vértices de $TEX: $\mathcal {P}$$ , es imposible obtener mediante una cantidad finita de operaciones $TEX: $4k+1$$ números iguales a $TEX: $m$$ . a) Determine si el $TEX: $2010$$ es fatal o no. Justifique. b) Demuestre que existen infinitos números fatales. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 25 2010, 11:05 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bueno ya conocen sus puntajes de la primera parte, la espera se terminó y el día llegó, les toca ahora luchar la segunda parte. Les deseamos éxito a todos, justifiquen y demuestren sus ideas claramente y que Dios los bendiga. Iª OLIMPIADA INTERNA (PREOLÍMPICA) FMAT www.fmat.cl, 2010 Segunda Prueba: 26 de Julio. $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 4$}$ Sean $TEX: $a_1<a_2<...<a_n$$ enteros positivos consecutivos (con $TEX: $n>2$$ ). Un saltamontes salta sobre la recta real, comenzando en el punto $TEX: $0$$ y dando $TEX: $n$$ saltos hacia la derecha con longitudes $TEX: $a_1$$ , $TEX: $a_2$$ , ..., $TEX: $a_n$$ , en algún orden (cada longitud se ocupa exactamente una vez), terminando su recorrido en el punto $TEX: $2010$$ . Halle todos los posibles valores $TEX: $n$$ de saltos que pudo haber dado el saltamontes. $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 5$}$ Los mate-justicieros son un grupo de cinco superhéroes, tal que cada uno tiene uno y sólo uno de los siguientes poderes: hipnosis, supervelocidad, manipulación de sombras, inmortalidad y superfuerza (cada uno tiene un poder diferente). En una aventura a la isla de Filipia, conocen al hechicero Vicencio, un viejo sabio que les ofrece el siguiente ritual para ayudarlos: El ritual consiste en que un superhéroe $TEX: $\mathcal{A}$$ adquiere el o los dones de $TEX: $\mathcal{B}$$ sin que $TEX: $\mathcal{B}$$ adquiera el o los dones de $TEX: $\mathcal{A}$$ . Determine la menor cantidad de rituales que debe realizar el hechicero Vicencio de modo que cada superhéroe controle cada uno de los cinco dones. Aclaración: Al finalizar ritual un superhéroe $TEX: $\mathcal{A}$$ tendrá sus dones y los de un supehéroe $TEX: $\mathcal{B}$$ , pero $TEX: $\mathcal{B}$$ no adquiere los de $TEX: $\mathcal{A}$$ , pero sí conserva los suyos. $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 6$}$ Sea $TEX: $\triangle ABC$$ un triángulo con $TEX: $\angle ACB=60º$$ . Sea $TEX: $E$$ un punto interior a $TEX: $\overline {AC}$$ tal que $TEX: $CE<BC$$ . Sea $TEX: $D$$ sobre $TEX: $\overline {BC}$$ tal que $TEX: $\dfrac {AE}{BD}=\dfrac {BC}{CE}-1$$ Llamemos $TEX: $P$$ a la intersección de $TEX: $\overline {AD}$$ con $TEX: $\overline {BE}$$ y $TEX: $Q$$ al otro punto de intersección de los circumcírculos de los triángulos $TEX: $AEP$$ y $TEX: $BDP$$ . Pruebe que $TEX: $\overleftrightarrow {QE}//\overleftrightarrow {BC}$$ . $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 7$}$ En una liga de fútbol participan $TEX: $15$$ equipos. Cada equipo juega contra cada uno de los equipos restantes exactamente una vez. Si un equipo le gana a otro equipo en un partido recibe $TEX: $3$$ puntos, mientras que el perdedor recibe $TEX: $1$$ punto. En caso de empate, ambos equipos reciben $TEX: $2$$ puntos. Al realizarse todos los partidos posibles de la liga se puede observar lo siguiente: No hay dos equipos que hayan finalizado con la misma cantidad de puntos. Cada equipo finalizó la liga con al menos $TEX: $21$$ puntos. Sea $TEX: $\mathcal {W}$$ el equipo que finalizó la liga con el mayor puntaje. Determine cuántos puntos obtuvo $TEX: $\mathcal {W}$$ y demuestre que en la liga hubo al menos cuatro empates. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

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