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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Cálculo > Cálculo en Varias Variables  |
 Jul 5 2010, 06:44 PM
Publicado:
#1
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 Staff FMAT  Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Sean }}0 < a < b{\text{ y }}R = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 :x,y \geqslant 0,{\text{ }}y \geqslant x,{\text{ }}a \leqslant xy \leqslant b,{\text{ }}y^2 - x^2 \leqslant 1} \right\}. \hfill \\<br /> {\text{Calcule:}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/6557407abde8bcd4b029a8cf2e1332c0.png) ![TEX: \[<br />\iint_R {\left( {y^2 - x^2 } \right)^{xy} \left( {x^2 + y^2 } \right)dxdy}<br />\]<br />](./tex/ba8711799117deeddfcd8566b1e2ea2c.png) Traído de una ayudantía, para nada difícil, pero me pareció bonito 
-------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico  “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti ![TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />](/tex-image/662cf378c88b8d7170f7919ce7dc427a.png) |
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Jul 5 2010, 11:30 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad:  Sexo: |
CITA(Naxoo @ Jul 5 2010, 07:44 PM)  Traído de una ayudantía, para nada difícil, pero me pareció bonito ![TEX: <br /><br />La región es la zona comprendida en el primer cuadrante, limitada por la recta $y=x$, la hipérbola $y = \sqrt{1+x^2}$ y las hipérbolas $xy=a$ , $xy=b$. La región es entonces la zona del primer cuadrante que se encuentra sobre la recta,bajo la primera hipérbola, sobre la segunda hipérbola y bajo la tercera hipérbola respectivamente (las ya nombradas, en ese orden).<br /><br />La integral a calcular es<br />\[ I = \iint_{R} (y^2-x^2)^{xy} (x^2+y^2) dxdy \]<br /><br />Se realiza el siguiente cambio de variables:<br />\[ u = y^2-x^2 \hspace{3mm} v = xy \]<br /><br />Su jacobiano es:<br />\[ \frac{1}{J} = \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}= \left| \begin{array}{cc}<br />\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\<br />\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc}<br />2x & -2y \\<br />y & x \end{array} \right| = 2(x^2 + y^2) \]<br /><br />Es decir, $ \displaystyle J = \frac{1}{2(x^2+y^2)} $<br /><br />Ahora, se calculan los límites de integración:<br />\[ a \leq xy \leq b \hspace{2mm} \Leftrightarrow \hspace{2mm} a \leq v \leq b \]<br />\[ y^2-x^2 \leq 1 \hspace{2mm} \Leftrightarrow \hspace{2mm} u \leq 1 \]<br />\[ y \geq x \hspace{2mm} \Leftrightarrow \hspace{2mm} y^2 \geq x^2 \hspace{2mm} \Leftrightarrow \hspace{2mm} y^2-x^2 \geq 0 \hspace{2mm} \Rightarrow \hspace{2mm} u\geq 0 \]<br /><br />](./tex/72f03303e3336c00f9d28ef9b9a7a7f0.png) ![TEX: <br /><br />La nueva región, de ejes coordenados $u$ y $v$, se trata de un rectángulo de dimensiones $[0,1] \times [a,b]$. Finalmente, expresando la integral a calcular expresada en términos de las nuevas variables, se llega a que<br /><br />\[ I = \int_{a}^{b} \int_{0}^{1} u^{v} \cdot \frac{(x^2+y^2)}{2(x^2+y^2)} du dv \]<br />\[ I = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} \int_{0}^{1} u^{v} du dv \]<br />\[ I = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} \frac{dv}{v+1} dv \]<br />\[ I = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{b+1}{a+1} \right) \]<br /><br />](./tex/e4b014e63368c707845badfb1ab6a359.png)
Mensaje modificado por Laðeralus el Jul 6 2010, 01:29 AM |
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Jul 6 2010, 12:09 AM
Publicado:
#3
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Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
Correcto! sólo cometiste un error de tipeo al principio cuando defines el cambio de variable, debiese ser: u=y^2-x^2.
Y se agradece que te explayes en tus respuestas, me sirvieron harto para estudiar esta materia 
-------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti |
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Jul 6 2010, 01:31 AM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
CITA(Naxoo @ Jul 6 2010, 01:09 AM) Correcto! sólo cometiste un error de tipeo al principio cuando defines el cambio de variable, debiese ser: u=y^2-x^2. Y se agradece que te explayes en tus respuestas, me sirvieron harto para estudiar esta materia  Ya está corregido
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