E Álgebra y Geometría

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E Álgebra y Geometría, 1S 2010

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Tela Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2010, 02:11 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.032 Registrado: 25-March 09 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 46.018 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\begin{center}<br />\noindent MAT1103 - Álgebra y Geometría\\<br />Examen\\<br />Su nota se calculará considerando sus mejores siete respuestas. \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Encuentre todas las soluciones de la ecuación $x^{10} -2x^5 +4 = 0$.<br />\item Calcule el valor de $\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i i \cdot 2^{i+j}$.<br />\item Demuestre que para todo $n \in \mathbb{N}$, $4^n -3n -1$ es divisible por $9$.<br />\item Encuentre el valor de $\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot \dbinom{n}{k}$.<br />\item La recta $\mathcal{L}$ pasa por el punto $(1,1)$, y al cortar la circunferencia de ecuación $(x-12)^2 +(y-4)^2 = 100$ determina una cuerda de longitud $2\sqrt{19}$. ¿Cuál es la ecuación de $\mathcal{L}$?.<br />\item La ecuación $7x^2 -12xy -2y^2 +30x +200y -575=0$ representa una cónica. Determine:<br />\begin{enumerate}<br />\item su ecuación una vez rotada de modo de eliminar el término con $xy$.<br />\item sus vértices,<br />\item sus focos,<br />\item la ecuación de su eje,<br />\item las ecuaciones de sus directrices.<br />\item su excentricidad y el tipo de cónica.<br />\end{enumerate}<br />\item Encuentre la ecuación de la tangente a la parábola $y^2 -2x +2y +3 =0$ que es perpendicular a la recta $2x + y + 7 =0$.<br />\item Sea $G$ un grupo, y sean $A$ y $B$ dos subgrupos de $G$ tales que para todo $a \in A$, $b \in B$ se tiene $b^{-1}ab \in A$.\\<br />Demuestre que $AB$ es un subgrupo de $G$.<br />\item Encuentre todos los elementos del anillo $\mathbb{Z}_{36}$ que son $invertibles$ (o sea, que tienen un inverso en el anillo).<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: Tiempo: 150 minutos$ $TEX: Sin Consultas$ $TEX: Sin calculadora$

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2010, 02:43 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: 3. Por induccion:<br />Para $n=1$, $9\|0$.<br />H.I: $9\|4^n-3n-1$<br />T.I: $9\|4^{n+1}-3(n+1)-1$<br />Demostracion: Por nuestra H.I tenemos que existe un entero $p$, tal que $9p=4^n-3n-1$,$9p+1+3n=4^n$. Entonces $4^{n+1}-3(n+1)-1=4(4^n)-3n-4=4(9p+1+3n)-3n-4=36p+4+12n-3n-4=36p+9n=9(4p+n)$. QED$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2010, 02:35 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	La 1.) se saca rápido con una variable auxiliar $TEX: $u=x^{5}$$

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2010, 10:24 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	no se a que te refieres con rapido, pues pide todas las soluciones así que hay que sacar raices quintas despues. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2010, 10:26 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	Ahora que lo veo (nótese la hora en que escribí mi respuesta xdd), no es tan simple, pero, eso ayudaría bastante xd

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2010, 12:19 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />B\'asico, pero igual sirve\\<br />$ $\\<br />\textbf{\textsf{Sp1}}:\\<br />La ecuaci\'on es equivalente a $(x^{5}-1)^{2}=-3$, luego $x^{5}=1\pm\sqrt{3}i$.\\<br />Para hallar las raices quintas de cada complejo nos situamos en un pent\'agono regular de circunradio $\sqrt[5]{2}$ y con un v\'ertice formando $60^{\circ}$ (para el signo +) o $300^{\circ}$ (para el signo -) con el lado positivo del eje $X$, entonces las dem\'as raices ser\'an los dem\'as v\'ertices, cuyos \'angulos de inclinaci\'on son de la forma $60+\dfrac{360}{k}$ con $k=1, 2,3,4,5$ (caso +) y $300+\dfrac{360}{k}$ con $k=1,2,3,4,5$ (caso -).\\<br />Gracias Pedantic por notar la superpifia xd<br />$ Mensaje modificado por Kaissa el Jul 14 2010, 02:27 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2010, 12:27 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Jul 14 2010, 01:19 PM) $TEX: $ $\\<br />B\'asico, pero igual sirve\\<br />$ $\\<br />\textbf{\textsf{Sp1}}:\\<br />La ecuaci\'on es equivalente a $(x^{5}-2)^{2}=0$, luego $x^{5}=2$.\\<br />Para hallar las raices quintas de 2 nos situamos en un pent\'agono regular de circunradio $\sqrt[5]{2}$ y con un v\'ertice en el lado positivo del eje $X$, entonces las dem\'as raices ser\'an los dem\'as v\'ertices, cuyos \'angulos de inclinaci\'on son de la forma $\dfrac{360}{k}$ con $k=1, 2,3,4,5$.\\<br />Las soluciones son por tanto los elementos del conjunto <br />\begin{eqnarray}<br />S=\{\sqrt[5]{2}(\cos\dfrac{2\pi}{k}+i\sin\dfrac{2\pi}{k})\ :\ k\in\{1,2,3,4,5\}\}<br />\end{eqnarray}<br />$ Segun yo $TEX: $(x^5-2)=x^{10}-4x^5+4$$ Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Jul 14 2010, 12:30 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2010, 02:28 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	editado -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 19 2011, 05:29 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P4) se sabe que $TEX: $k\dbinom{n}{k}=n\dbinom{n-1}{k-1}$$ por lo tanto $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\dbinom{n}{k}=n\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n-1}{k-1}$$ cambio de indice... $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\dbinom{n}{k}=n\sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}1^k1^{n-1-k}=n(2)^{n-1}\blacksquare$$

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2011, 06:05 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	en la 8) que viene siendo AB ??

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