Teorema de Pick - Foro fmat.cl

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Teorema de Pick

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Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 3 2010, 07:55 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Este es un teorema bastante util, y no lo he visto posteado por estos lares, así que procedere a mostrarlo $TEX: Sea un polígono cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:<br />$A=I+\dfrac {B}{2}-1$$ Demostracion: $TEX: Supongamos que el enunciado se cumple para dos poligonos por separado, entonces procederemos a demostrar que se cumple para el poligono resultante al unir estos poligonos. Esto es sencillo si vemos que los puntos pasan a ser puntos en el interior del poligono mayor, y por lo tanto suman el doble al area que un punto de un lado del poligono que solo pertenezca a las aristas de este, y notar que al sumar el area de los dos poligonos los puntos de frontera se cuentas dos veces (una por cada poligono). Entonces es suficiente demostrar que el enunciado se cumple para todo triangulo.<br />Ahora no es dificil ver que el enunciado se cumple para todo rectangulo, y a raíz de esto se puede concluir que se cumple para todo triangulo rectangulo (ya que el trazar la diagonal, se forman dos triangulos rectangulos congruentes). Considerando ademas que todo triangulo se puede subdividir en triangulos rectangulos (para esto basta trazar una altura de este), se demuestra lo pedido$ Saludos -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso