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Dos cuadrados, un primo

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2010, 09:53 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Supóngase que 2n+1 y 3n+1 son cuadrados perfectos (mayores que 1). ¿Puede ser 5n+3 un número primo en tal escenario? -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2013, 03:27 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución: Como 2n+1 y 3n+1 son cuadrados podemos reescribirlos como $TEX: $\displaystyle x^{2}=2n+1$$ e $TEX: $\displaystyle y^{2}=3n+1$$ , entonces tendriamos que: $TEX: $\displaystyle x^{2}+y^{2}=p-1$$ $TEX: $\displaystyle 3x^{2}-2y^{2}=1$$ Luego sumando estas 2 ecuaciones concluimos que $TEX: $\displaystyle 4x^{2}-y^{2}=p$$ . Tenemos que x,y>1, entonces 2x+y>1, ergo tenemos solo 1 caso: 2x+y=p y 2x-y=1, de esto obtenemos que 4x=p+1 => $TEX: $\displaystyle 16(2n+1)=(5n+4)^2$$ , resolviendo llegamos a que $TEX: $\displaystyle n=0$$ o $TEX: $\displaystyle n=\frac{8}{25}$$ , pero n es entero, por ende nos sirve n=0. Luego la única solución es n=0, pero estos eran cuadrados mayores que 1, es decir, no existen tales números $TEX: $\displaystyle \blacksquare $$ Saludos !!! Mensaje modificado por Seba² el May 12 2013, 10:44 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2013, 04:41 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Seba² @ May 12 2013, 01:27 PM) 2 caso: 2x+y=1 o 2x-y=p, acá 4x=1... ¿No quieres decir "... acá 4x = p+1 nuevamente"? En todo caso, hizo falta hablar de los casos 2x+y = -1, 2x-y=-p & 2x+y=-p, 2x-y=-1... -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2013, 10:42 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Editado. -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

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