CMAT 2010 - Fecha 3 - Nivel 1 Individual Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

VIII CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA - CMAT
Fecha 3: Sábado 26 de Junio de 2010
Primer Nivel Individual

Problema 1
Juanito recibe una mesada que varía cada mes, pues se le aplican las siguientes condiciones:

• A Juanito le reajustan su mesada en un 10% cada dos meses.
• A Juanito le descuentan el 20% de su próxima mesada si completa tres anotaciones negativas. Las siguientes se acumulan hasta completar tres.
• A Juanito le quitan el 30% de su mesada si tiene un promedio general de notas menor o igual a 5,5 al mes.
• A Juanito le aumentan su mesada en un 50% de su mesada, si obtiene un promedio de notas mayor a 6,5 al mes.
• A Juanito le agregan $2000 en su mesada por cada anotación positiva que obtiene.

Supongamos que Juanito debe ir a su primer día de clases en el mes de Marzo y que inicialmente recibió una mesada de $10000 a finales de Febrero. Juanito tuvo:

• 1 anotación negativa en Diciembre.
• 2 anotaciones negativas en Abril, Mayo y Junio.
• 3 anotaciones negativas en Marzo, Agosto y Octubre.
• 4 anotaciones negativas en Septiembre y Noviembre.
• 3 anotaciones positivas en Abril y Septiembre.
• 2 anotaciones positivas en Mayo y Octubre.
• 4 anotaciones positivas en Diciembre.

Los promedios mensuales de notas de Juanito fueron: (5,5), (6,0), (6,8), (6,5), (6,3), (5,2), (5,3), (6,7), (5,7), (6,6), respectivamente en cada mes.

Como a nuestro amigo Juanito le gusta ahorrar todas sus mesadas, calcule: ¿Cuánto dinero tiene ahorrado para las vacaciones de verano (es decir, hasta Diciembre)?

Nota 1: Juanito y su apoderado hacen la cuenta de la mesada al final de cada mes.

Nota 2: Todas las condiciones dadas son en base al periodo escolar, es decir, desde Marzo a Diciembre.

Problema 2
Considere N bolitas, todas ellas aparentemente iguales, excepto por una de ellas que es ligeramente más pesada que las otras. Suponga que tiene una balanza de equilibrio con dos platos y sea F(N) el número mínimo de pesadas necesarias para aislar la bolita más pesada.

Por ejemplo: si N=2, entonces una pesada bastará pues la balanza se inclinará hacia la más pesada. Así F(2)=1.

Si N=3, entonces bastará una pesada ya que, si colocamos dos bolitas, una en cada plato de la balanza, tenemos dos posibilidades: la primera es que se mantenga en equilibrio. En este caso, la bolita más pesada es la que quedó fuera. La segunda posibilidad es que la balanza se incline hacia la más pesada, en cuyo caso la detectamos. Luego F(3)=1.

Si N=4, se necesitarán dos pesadas. En la primera pesada colocamos dos bolitas en cada lado de la balanza. La balanza se inclinará hacia un lado. Con una segunda pesada, colocando en cada plato de la balanza cada una de las dos bolitas detectadas en la primera pesada, la balanza se inclinará hacia el lado de la bolita más pesada. Así F(4)=2.

Determine los valores de F(5) y F(9).

Esta prueba es un premio a quien tiene paciencia, especialmente por el Problema 1... Los enunciados están ligeramente modificados con respecto al original.

PARA LAS DUDAS, COMENTARIOS, SOLUCIONES SOBRE CADA PREGUNTA, ACUDIR A LOS TEMAS RESPECTIVOS