 ¿Importado desde México? |
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 Jun 25 2010, 11:46 AM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Sexo:   |
![TEX: \noindent Considere $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$. Sean $D$, $E$ y $F$ los puntos medios de $\overline{AP}$, $\overline{BP}$ y $\overline{CP}$, respectivamente, y $L$, $M$ y $N$ los puntos de intersección de $\overline{BF}$ con $\overline{CE}$, $\overline{AF}$ con $\overline{CD}$ y $\overline{AE}$ con $\overline{BD}$.<br /> \begin{itemize}<br /> \item[$a)$] Muestre que el área del hexágono $DNELFM$ es igual a la tercera parte del área del triángulo $ABC$.<br /> \item[$b)$] Muestre que las diagonales $\overline{DL}$, $\overline{EM}$ y $\overline{FN}$ son concurrentes.<br /> \end{itemize}<br /> \begin{center}<br /> \begin{pspicture*}(0,0)(7,6)<br /> \psline(0.5,0.5)(6.5,0.5)<br /> \psline(6.5,0.5)(1.5,5.5)<br /> \psline(1.5,5.5)(0.5,0.5)<br /> \psline(2.5,2)(0.5,0.5)<br /> \psline(2.5,2)(6.5,0.5)<br /> \psline(2.5,2)(1.5,5.5)<br /> \psline(0.5,0.5)(2,3.75)<br /> \psline(1.5,5.5)(1.5,1.25)<br /> \psline(1.5,1.25)(6.5,0.5)<br /> \psline(0.5,0.5)(4.5,1.25)<br /> \psline(4.5,1.25)(1.5,5.5)<br /> \psline(2,3.75)(6.5,0.5)<br /> \uput[dl](0.5,0.5){$A$}<br /> \uput[dr](6.5,0.5){$B$}<br /> \uput[u](1.5,5.5){$C$}<br /> \uput[d](2.5,2){$P$}<br /> \uput[ul](1.55,1.1){$D$}<br /> \uput[ur](4.4,1.2){$E$}<br /> \uput[ur](1.95,3.7){$F$}<br /> \rput(3.7,2.8){$L$}<br /> \rput(1.25,2.7){$M$}<br /> \rput(3.2,.75){$N$}<br /> \end{pspicture*}<br /> \end{center}](./tex/f587071beedbbdbbeeb6943bf031ae1d.png) Tengo entendido que este ejercicio apareció en una olimpiada mexicana. La parte a) fue usada en el CMAT 2010. Buen provecho del problema. -------------------- |
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Jun 25 2010, 02:50 PM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo:  |
para la primera sencillamente es usar una de las propiedades "estilo demre" del baricentro: que recorta al triángulo original en 6 partes de igual área.
en cada uno de los 3 triángulos en que divide P al tr ABC se cumple esto, luego cada cuadrilátero tiene área igual a 1/3 del triángulo correspondiente, y como la suma de estas áreas es igual a la del hexagono, y la suma de las áreas de los triángulos es igual a la de tr ABC estamos listos. disculpen mi poco aporte, pero la 2 me imagino se hace de un pascalazo, pero no se como darle u.u -------------------- |
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Jan 15 2013, 09:08 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
Solución 1.b
Comentario  Saludos Mensaje modificado por El Geek el Feb 24 2013, 05:41 PM -------------------- Me voy, me jui.
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, 
, 
son baricentros de los 
. Dado esto, por propiedad conocida tenemos que 
, de lo que se sigue que los triángulos 
y 
son homotéticos. En consecuencia, los segmentos 
concurren, demostrando lo pedido 
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Jan 23 2013, 06:31 PM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo: |
Otra forma un poco más "mágica":
No es difícil darse cuenta (con Thales) que ML y DE son paralelas pues ambas son paralelas a AB, entonces usando un punto infinito, los triángulos MNL y EFD (en ese orden) están en perspectiva respecto de una recta y por Desargues deben estar en perspectiva respecto de un punto, es decir FN, ME y DL concurren. -------------------- |
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Feb 24 2013, 04:23 PM
Publicado:
#5
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 Dios Matemático  Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad:  Sexo: |
Simplemente impresionantes las soluciones
-------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !  |
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