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Guia Números Complejos

of.wolf.and.man Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2010, 09:15 PM Publicado: #11
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 11-April 10 Miembro Nº: 68.347 Nacionalidad: Sexo:	hola,tengo las siguientes dudas... como se hace la n°8 y la B de la n°9?? en la n°8 a) llegue como analisis que (1 - 2i)x + (1 +2i)y = 1 + i es Zx+ Z(conjugado)y = Z(conjugado) -i...... pero no llego a nada no se me ocurre como desarrollar el problema por favor alguien podria explicarme.

Syel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2010, 09:49 PM Publicado: #12
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 10-April 10 Desde: Santiago Miembro Nº: 68.212 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Estimado en el 8 tienes que ir resolviendo de hasta quedar de la forma (a + bi) entonces igualar tu "a" a lo que hallas separado como parte real, a 1, e igualar "b" a tu parte imaginaria; también 1 (por lo menos en el 8.a es más sencillo). Mensaje modificado por Syel el Jun 23 2010, 09:51 PM

zent Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2010, 12:22 PM Publicado: #13
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4 Registrado: 24-March 10 Desde: Valparaiso Miembro Nº: 67.097 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(walatoo @ Jun 21 2010, 11:42 PM) wenaa!, ahora solo falta que se empiesen a animar para postiar sus soluciones $TEX: 2. Si $z=4-4\sqrt3i$ entonces calcule:$ $TEX: a) $\|z\|$$ $TEX: $\|z\|=\sqrt{4^2+4^4\cdot3}=4\sqrt{1+3}=8$$ $TEX: b) Im$(z^{27})$$ $TEX: notemos que $z$ en su forma polar es:$ $TEX: $z^{27}=8^{27}e^{i27\theta}=8^{27}(\cos(27\theta)+i\sin(27\theta))$$ $TEX: luego $\theta=2\pi-\frac{\pi}{3}\Rightarrow\theta=\frac{5\pi}{3}$ (haciendo su respectivo dibujito xD)$ entonces: $TEX: Im$(z^{27})=8^{27}\sin(27\cdot{\frac{5\pi}{3}})=8^{27}\sin(45\pi)=8^{27}\sin(22(2\pi)+\pi)=0$$ $TEX: 10. calcular:$ $TEX: b) $i\cdot{i^2}\cdot{i^3}\cdot...\cdot{i^{2009}}=i^{1+2+3+...+2009}=i^{\frac{2009\cdot2010}{2}}=i^{2019045}=\underbrace{i^{2019044}}_{2019044=4k\Rightarrow 1}\cdot{i}=i$$ saludos Disculpa, pero por que el angulo te da pi/3? -------------------- Ingenieria Civil Metalúrgica UTFSM

O.K Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2010, 05:56 PM Publicado: #14
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 314 Registrado: 14-March 09 Desde: San Miguel Miembro Nº: 44.908 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left( {14} \right)... \hfill \\<br /> {z_1} = \cos \left( {\frac{\pi }<br />{{16}}} \right) + sen\left( {\frac{\pi }<br />{{16}}} \right)i \hfill \\<br /> \left( {15} \right) \hfill \\<br /> z = a + bi \hfill \\<br /> \left\| {z - 3} \right\| = 2\left\| {z + 3} \right\| \hfill \\<br /> \sqrt {{a^2} - 6a + 9 + {b^2}} = 2\sqrt {{a^2} + 6a + 9 + {b^2}} \hfill \\<br /> {a^2} - 6a + 9 + {b^2} = 4\left( {{a^2} + 6a + 9 + {b^2}} \right) \hfill \\<br /> {a^2} + 10a + 9 + {b^2} = 0 \hfill \\<br /> \left\| {z + 5} \right\| = 4 \hfill \\<br /> \sqrt {{a^2} + 25 + 10 + {b^2}} = 4 \hfill \\<br /> {a^2} + 10a + 9 + {b^2} = 0 \hfill \\<br /> \left( {16} \right) \hfill \\<br /> {S_i} = \frac{{{a_1}({r^i} - 1)}}<br />{{r - 1}} \hfill \\<br /> w + {w^2} + {w^3} + ... + {w^{n - 1}} = - 1 \hfill \\<br /> \frac{{w({w^{n - 1}} - 1)}}<br />{{w - 1}} = - 1 \hfill \\<br /> w \ne 1 \hfill \\<br /> {w^n} - w = - w + 1 \hfill \\<br /> {w^n} = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ No tengo el desarrollo a mano de la 14 pero el primer z me dio eso... la 16 la hice con progresion geometrica nose si se podra.. xD Mensaje modificado por O.K* el Jun 24 2010, 06:24 PM --------------------

A®S_ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2010, 06:33 PM Publicado: #15
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4 Registrado: 31-July 09 Miembro Nº: 56.250 Sexo:	Alguien que suba la resolución de la 3 por faa

of.wolf.and.man Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2010, 10:10 PM Publicado: #16
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 11-April 10 Miembro Nº: 68.347 Nacionalidad: Sexo:	Gracias Syel, en realidad era muy sencillo. Ahora si pudieran decirme como se hace la 9b.

of.wolf.and.man Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2010, 11:11 PM Publicado: #17
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 11-April 10 Miembro Nº: 68.347 Nacionalidad: Sexo:	3)

O.K Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2010, 12:11 AM Publicado: #18
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 314 Registrado: 14-March 09 Desde: San Miguel Miembro Nº: 44.908 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(zent @ Jun 24 2010, 02:22 PM) Disculpa, pero por que el angulo te da pi/3? $TEX: <br />\[\cot \left( {\frac{y}<br />{x}} \right) = \cot \left( {\frac{{ - 4\sqrt 3 }}<br />{4}} \right) = \cot \left( { - \sqrt 3 } \right) = \frac{{ - \pi }}<br />{3}\]$ saludos --------------------

Perrosky Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2010, 08:19 AM Publicado: #19
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 18 Registrado: 20-August 08 Desde: Valparaiso Miembro Nº: 32.718 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	19.- Resolver en $TEX: $\mathbf{\mathbb{C}}$$ a) $TEX: $\mathbf{z^3+\left \|{z}\right \|=0}$$ edit b) $TEX: $\mathbf{ iz^{3/4}+1=0}$$ $TEX: $i(z^{3/4}-i)=0$$ $TEX: $z^{3/4}=i$$ ... xd c) $TEX: $\mathbf{\left \|{z}\right \|-z=1+2i}$$ Sea z= a+bi $TEX: $(\sqrt{a^2+b^2}-a)-bi=1+2i$$ Igualando parte real con parte real y parte imaginaria con imaginaria, $TEX: $(\sqrt{a^2+b^2}-a=1) \wedge (-b=2)$$ $TEX: $(a^2+4=a^2+2a+1) \wedge (b=-2)$$ $TEX: $(a=3/2) \wedge( b=-2)$$ $TEX: $\therefore z= \dfrac {3}{2}-2i$$ d) $TEX: $\mathbf{\overline{z}=z^2}$$ $TEX: $\overline{z}=\overline{z}\cdot z$$ $TEX: $\overline{z}-\overline{z}\cdot z=0$$ $TEX: $\overline{z}(1-z)=0$$ $TEX: $\overline{z}=0 \vee z=1$$ $TEX: $\Rightarrow{z=0 \vee z=1 }$$ e) $TEX: $\mathbf{z^6+7z-8=0}$$ Notar que 1 es solución, luego $TEX: $(z-1)(z^5+z^4+z^3+8z^2 + 8z +8)=0$$ $TEX: $(z-1)[z^3(z^2+z+1)+8(z^2+z+1)]=0$$ $TEX: $(z-1)(z^3+8)(z^2+z+1)$$ $TEX: $(z-1)(z+2)(z^2-2z+4)(z^2+z+1)$$ $TEX: $(z-1)(z+2)(z-(1-i\sqrt{3}))(z-(1+i\sqrt{3}))(z-(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}))(z-(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}))=0$$ Otra forma de desarrollar esta ecuación, es teniendo una solución y multiplicarla por las raices de la unidad 20.- Use el Teorema de De Moivre para probar que: $TEX: $\sin{6\alpha}=\sin{2\alpha}(16\sin^4{\alpha}-16\sin^2{\alpha}+3)$$ Por teorema de Moivre tenemos que: $TEX: $(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})^6=\cos{6\alpha}+i\sin{6\alpha}$$ Luego, por teorema del binomio... $TEX: $\displaystyle\sum_{k=0}^6{\binom{6}{k} \cdot \cos^{6-k} {\alpha} \cdot (i\sin{\alpha })^k}=<br />\displaystyle\binom{6}{0}{\cos^{6}{\alpha}}+<br />\displaystyle\binom{6}{1}{\cos^{5}{\alpha}\cdot i \sin{\alpha}}-<br />\displaystyle\binom{6}{2}{\cos^{4}{\alpha}\cdot\sin^{2}{\alpha}}-<br />\displaystyle\binom{6}{3}{\cos^{3}{\alpha}\cdot i\sin^{3}{\alpha}}+<br />\displaystyle\binom{6}{4}{\cos^{2}{\alpha}\cdot \sin^{4}{\alpha}}+<br />\displaystyle\binom{6}{5}{\cos{\alpha}\cdot i\sin^{5}{\alpha}}-<br />\displaystyle\binom{6}{6}{\sin^{6}{\alpha}}$$ Igualando parte imaginaria... $TEX: $<br />\sin{6\alpha}=6 \cos^{5}{\alpha}\cdot \sin{\alpha} -20 {\cos^{3}{\alpha}\cdot \sin^{3}{\alpha}}+6\cos{\alpha}\cdot \sin^{5}{\alpha}$$ $TEX: $\sin{6\alpha}=2\cos{\alpha}\cdot \sin{\alpha}(3\cos^4{\alpha}-10 cos^2{\alpha}\cdot \sin^2{\alpha}+3\sin^4{\alpha})$$ $TEX: $\sin{6\alpha}=\sin{2\alpha}(3(\sin^4{\alpha}+\cos^4{\alpha})-10(1-\sin^2{\alpha})(\sin^2{\alpha}))$$ $TEX: $\sin{6\alpha}=\sin{2\alpha}(3(1-2\sin^2{\alpha}+2\sin^4{\alpha})-10\sin^2{\alpha}+10\sin^4{\alpha})$$ $TEX: $\sin{6\alpha}=\sin{2\alpha}(16\sin^4{\alpha}-16\sin^2{\alpha}+3)$$ 23.- Pruebe que si $TEX: $\mathbf{1+\left \|{z}\right \|= \left \|{z+1}\right \|} $$ , entoces z es un numero real. Supongamos que $TEX: $z\in\mathbb{C} $$ . Supongamos además que $TEX: $z =a+bi$$ con $TEX: $a,b \in\mathbb{R} \wedge b\neq 0$$ . Luego, $TEX: $1+\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(a+1)^2+b^2}$$ elevando al cuadrado $TEX: $1+ 2\sqrt{a^2+b^2}+a^2+b^2=a^2+2a+1+b^2 $$ $TEX: $\sqrt{a^2+b^2}=a$$ elevando al cuadrado $TEX: $a^2+b^2=a^2$$ $TEX: $b^2=0$$ $TEX: $ \Rightarrow{b=0}$$ , contradicción $TEX: $\therefore z \in \mathbb{R}$$ Mensaje modificado por Perrosky el Jun 26 2010, 05:06 PM

TamaruKaT Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2010, 08:24 PM Publicado: #20
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 287 Registrado: 4-June 07 Miembro Nº: 6.414 Nacionalidad: Sexo:	Gracias por la guia Infiltrandome nuevamente dx... $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{1}}{\text{.Considere los complejos }}z_1 = 1 + 2i,{\text{ }}z_2 = - 2 + 3i{\text{ y }}z_3 {\text{ = }}1 - i.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Calcular}} \hfill \\<br /> {\text{a) z}}_{\text{1}} {\text{ + z}}_2 {\text{ + z}}_3 = \hfill \\<br /> (1 + 2i) + ( - 2 + 3i) + (1 - i) = 4i \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> b){\text{z}}_{\text{1}} {\text{z}}_2 {\text{ + z}}_2 {\text{z}}_3 {\text{ + z}}_3 {\text{z}}_1 = \hfill \\<br /> (1 + 2i)( - 2 + 3i) + ( - 2 + 3i)(1 - i) + (1 + 2i)(1 - i) = \hfill \\<br /> 2 + 3i - 4i + 3i \bullet 2i + - 2 + 2i + 3i - 3i \bullet i + 1 - i + 2i - 2i \bullet i = \hfill \\<br /> 1 + 5i + 6i^2 - 3i^2 - 2i^2 = \hfill \\<br /> 1 + 5i - 6 + 3 + 2 = 5i \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> c)\frac{{{\text{z}}_1^2 {\text{ + z}}_2^2 }}<br />{{{\text{z}}_2^2 + {\text{z}}_3^2 }} = \frac{{(1 + 2i)^2 + ( - 2 + 3i)^2 }}<br />{{( - 2 + 3i)^2 + (1 - i)^2 }} \hfill \\<br /> = \frac{{(1 + 4i + 4i^2 ) + (4 - 12i + 9i^2 )}}<br />{{(4 - 12i + 9i^2 ) + (1 - 2i + i^2 )}} \hfill \\<br /> = \frac{{5 - 8i + 13i^2 }}<br />{{5 - 14i + 10i^2 }} \hfill \\<br /> = \frac{{5 - 13 - 8i}}<br />{{5 - 10 - 14i}} \hfill \\<br /> = \frac{{ - 8 - 8i}}<br />{{ - 5 - 14i}} = \frac{{ - (8 + 8i)}}<br />{{ - (5 + 14i)}} = \frac{{8 + 8i}}<br />{{5 + 14i}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ --------------------

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