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Guia Números Complejos

Daniel_lda Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2010, 10:21 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 68 Registrado: 10-April 10 Miembro Nº: 68.239 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	NumerosComplejos.pdf ( 137.27k ) Número de descargas: 1119 Aqui esta la guia de Números complejos para empezar a resolverla. Ya vi que hay otro tema de números complejos pero esta junto con derivadas 2 y se confunden los ejercicios (para que este todo mas ordenado). --------------------

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2010, 10:42 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Daniel_lda @ Jun 22 2010, 12:21 AM) NumerosComplejos.pdf ( 137.27k ) Número de descargas: 1119 Aqui esta la guia de Números complejos para empezar a resolverla. Ya vi que hay otro tema de números complejos pero esta junto con derivadas 2 y se confunden los ejercicios (para que este todo mas ordenado). wenaa!, ahora solo falta que se empiesen a animar para postiar sus soluciones $TEX: 2. Si $z=4-4\sqrt3i$ entonces calcule:$ $TEX: a) $\|z\|$$ $TEX: $\|z\|=\sqrt{4^2+4^4\cdot3}=4\sqrt{1+3}=8$$ $TEX: b) Im$(z^{27})$$ $TEX: notemos que $z$ en su forma polar es:$ $TEX: $z^{27}=8^{27}e^{i27\theta}=8^{27}(\cos(27\theta)+i\sin(27\theta))$$ $TEX: luego $\theta=2\pi-\frac{\pi}{3}\Rightarrow\theta=\frac{5\pi}{3}$ (haciendo su respectivo dibujito xD)$ entonces: $TEX: Im$(z^{27})=8^{27}\sin(27\cdot{\frac{5\pi}{3}})=8^{27}\sin(45\pi)=8^{27}\sin(22(2\pi)+\pi)=0$$ $TEX: 10. calcular:$ $TEX: b) $i\cdot{i^2}\cdot{i^3}\cdot...\cdot{i^{2009}}=i^{1+2+3+...+2009}=i^{\frac{2009\cdot2010}{2}}=i^{2019045}=\underbrace{i^{2019044}}_{2019044=4k\Rightarrow 1}\cdot{i}=i$$ saludos -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

O.K Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2010, 05:42 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 314 Registrado: 14-March 09 Desde: San Miguel Miembro Nº: 44.908 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	wenaz! xD en la pregunta numero 4 tengo una dudein... ahi se pueden sacar los modulos de los 3 pares por separado, luego multiplico y divido? --------------------

Daniel_lda Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2010, 09:39 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 68 Registrado: 10-April 10 Miembro Nº: 68.239 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(O.K @ Jun 22 2010, 06:42 PM) wenaz! xD en la pregunta numero 4 tengo una dudein... ahi se pueden sacar los modulos de los 3 pares por separado, luego multiplico y divido? Loko yo hice lo mismo que dijiste tu... como que saque los modulos de todos y deje expresado su parte imaginaria, luego solo tome los modulos y los multiplique y dividi.... me dio $TEX: $\displaystyle\frac{8}{347\sqrt{7}}$$ --------------------

Daniel_lda Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2010, 09:59 PM Publicado: #5
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 68 Registrado: 10-April 10 Miembro Nº: 68.239 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: 6. Sea z=x+yi calcular $z^{2},z^{3},z^{4}$ y encontrar $Re(z^{3})$$ $TEX: Esto se desarrolla de la misma manera como desarrollamos expresiones al cuadrado, al cubo o a la cuarta teniedo presente que:$ $TEX: $ i^{2}=-1$$ $TEX: $1. z^{2}= (x^{2} - y^{2}) + i(2xy)$$ $TEX: $2. z^{3}= (x^{3}+3x^{2}yi+3xyi^{2}+yi^{3})$$ $TEX: $= x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y)$$ $TEX: $Re(z^{3})=x^{3}-3xy^{2}$$ $TEX: $3. z^{4}= (x^{4}+4x^{3}yi+6x^{2}yi^{2}+4xyi^{3}+yi^{4})$$ $TEX: $= x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}+i(4x^{3}y-4xy)$$ --------------------

O.K Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2010, 10:01 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 314 Registrado: 14-March 09 Desde: San Miguel Miembro Nº: 44.908 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	no entiendo mucho la 5.... esto es lo que logre hacer $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {z^2} + z + 1 = 0 \hfill \\<br /> {z^2} + z = - 1 \hfill \\<br /> z = a + bi \hfill \\<br /> {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi \hfill \\<br /> {z^2} + z = {a^2} - {b^2} + a + \left( {2ab + b} \right)i = - 1 \hfill \\<br /> \left( {2ab + b} \right) = 0 \hfill \\<br /> a = \frac{{ - 1}}<br />{2} \hfill \\<br /> {a^2} - {b^2} + a = - 1 \hfill \\<br /> b = \pm \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \hfill \\<br /> z = \frac{{ - 1}}<br />{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2}i \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ la otra $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {z^3} + 1 = 0 \hfill \\<br /> {z^3} = - 1 \hfill \\<br /> {z^3} = {a^3} - 3a{b^2} + \left( {3{a^2}b - {b^3}} \right)i \hfill \\<br /> \left( {3{a^2}b - {b^3}} \right) = 0 \hfill \\<br /> 3{a^2} = {b^2} \hfill \\<br /> {a^3} - 3a{b^2} = - 1 \hfill \\<br /> {a^3} - 9{a^3} = - 1 \hfill \\<br /> a = \sqrt[3]{{\frac{1}<br />{8}}} = \frac{1}<br />{2} \hfill \\<br /> b = \pm \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \hfill \\<br /> z = \frac{1}<br />{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2}i \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Mensaje modificado por O.K el Jun 22 2010, 10:15 PM --------------------

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2010, 10:04 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(O.K @ Jun 23 2010, 12:01 AM) no entiendo mucho la 5.... esto es lo que logre hacer $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {z^2} + z + 1 = 0 \hfill \\<br /> {z^2} + z = - 1 \hfill \\<br /> z = a + bi \hfill \\<br /> {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi \hfill \\<br /> {z^2} + z = {a^2} - {b^2} + a + \left( {2ab + b} \right)i = - 1 \hfill \\<br /> \left( {2ab + b} \right) = 0 \hfill \\<br /> a = \frac{{ - 1}}<br />{2} \hfill \\<br /> {a^2} - {b^2} + a = - 1 \hfill \\<br /> b = \pm \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \hfill \\<br /> z = \frac{{ - 1}}<br />{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2}i \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ resuelvelo con la formula de ecuacion cuadratica i magicamente da lo mismo xD pero io pienso que está bien, pues las soluciones son dos, son complejas i una es el conjugado de la otra saludos -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

O.K Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2010, 10:38 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 314 Registrado: 14-March 09 Desde: San Miguel Miembro Nº: 44.908 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	una miradita a estos porfavor 9. a) $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\left( {\frac{{1 + i}}<br />{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}<br />{{1 + i}}} \right)^8} \hfill \\<br /> {\left[ {\frac{{(1 + i)(1 + i)}}<br />{{(1 + i)(1 - i)}}} \right]^{16}}{\left[ {\frac{{(1 - i)(1 - i)}}<br />{{(1 + i)(1 - i)}}} \right]^8} \hfill \\<br /> z = {i^{16}} + {( - i)^8} = 1 + 1 = 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ 7. $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {(1 - i)^n} \hfill \\<br /> z = 1 - i \hfill \\<br /> {z^n} = {\sqrt 2 ^n}cis\left( {\frac{{ - \pi n}}<br />{4}} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ Mensaje modificado por O.K el Jun 23 2010, 08:58 PM --------------------

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2010, 12:15 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(O.K @ Jun 23 2010, 12:38 AM) una miradita a estos porfavor 9. a) $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\left( {\frac{{1 + i}}<br />{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}<br />{{1 + i}}} \right)^8} \hfill \\<br /> {\left[ {\frac{{(1 + i)(1 + i)}}<br />{{(1 - i)(1 + i)}}} \right]^{16}} + {\left[ {\frac{{(1 + i)(1 - i)}}<br />{{(1 - i)(1 + i)}}} \right]^8} \hfill \\<br /> z = {i^{16}} + {(1 - i)^8} = 1 + 16 = 17 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ 7. $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {(1 - i)^n} \hfill \\<br /> z = 1 - i \hfill \\<br /> {z^n} = {\sqrt 2 ^n}cis\left( {\frac{{ - \pi n}}<br />{4}} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ para la nueve: $TEX: $\left(\dfrac{(1+i)^2}{1-i^2}\right)^{16}+\left(\dfrac{(1-i)^2}{1-i^2}\right)^8$$ $TEX: $\left(\dfrac{(1+i)^{32}}{2^{16}}\right)+\left(\dfrac{(1-i)^{16}}{2^8}\right)$$ $TEX: $\left(\dfrac{(\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}})^{32}}{2^{16}}\right)+\left(\dfrac{(\sqrt2 e^{-i\frac{\pi}{4}})^{16}}{2^8}\right)$$ $TEX: $\left(\dfrac{2^{16}e^{i8\pi}}{2^{16}}\right)+\left(\dfrac{2^8 e^{-i4\pi}}{2^8}\right)$$ $TEX: $\underbrace{\cos(8\pi)}_{=1}+i\underbrace{\sin(8\pi)}_{=0}+\underbrace{\cos(4\pi)}_{=1}-i\underbrace{\sin(4\pi)}_{=0}$$ $TEX: $2$$ para el siete yo lo dejé con senos y cosenos, pero llegamos a lo mismo saludos ! Mensaje modificado por walatoo el Jun 23 2010, 12:17 PM -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

O.K Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2010, 08:49 PM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 314 Registrado: 14-March 09 Desde: San Miguel Miembro Nº: 44.908 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(walatoo @ Jun 23 2010, 02:15 PM) para la nueve: $TEX: $\left(\dfrac{(1+i)^2}{1-i^2}\right)^{16}+\left(\dfrac{(1-i)^2}{1-i^2}\right)^8$$ $TEX: $\left(\dfrac{(1+i)^{32}}{2^{16}}\right)+\left(\dfrac{(1-i)^{16}}{2^8}\right)$$ $TEX: $\left(\dfrac{(\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}})^{32}}{2^{16}}\right)+\left(\dfrac{(\sqrt2 e^{-i\frac{\pi}{4}})^{16}}{2^8}\right)$$ $TEX: $\left(\dfrac{2^{16}e^{i8\pi}}{2^{16}}\right)+\left(\dfrac{2^8 e^{-i4\pi}}{2^8}\right)$$ $TEX: $\underbrace{\cos(8\pi)}_{=1}+i\underbrace{\sin(8\pi)}_{=0}+\underbrace{\cos(4\pi)}_{=1}-i\underbrace{\sin(4\pi)}_{=0}$$ $TEX: $2$$ para el siete yo lo dejé con senos y cosenos, pero llegamos a lo mismo saludos ! creo k me pifie en esto o no? $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\left[ {\frac{{(1 - i)(1 - i)}}<br />{{(1 + i)(1 - i)}}} \right]^8} \ne {(1 - i)^8} \hfill \\<br /> {\left[ {\frac{{(1 - i)(1 - i)}}<br />{{(1 + i)(1 - i)}}} \right]^8} = {( - i)^8} = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ lo demas es lo mismo??? quedaria asi... $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\left[ {\frac{{(1 + i)(1 + i)}}<br />{{(1 + i)(1 - i)}}} \right]^{16}}{\left[ {\frac{{(1 - i)(1 - i)}}<br />{{(1 + i)(1 - i)}}} \right]^8} \hfill \\<br /> z = {i^{16}} + {( - i)^8} = 1 + 1 = 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ saludos, gracias... Mensaje modificado por O.K el Jun 23 2010, 08:51 PM --------------------

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