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certamen 3, el certamen que no pudimos hacer el jueves

MPAz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2010, 08:51 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 56 Registrado: 29-March 09 Desde: Valparaiso Miembro Nº: 46.454 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola a todosss la fuente es SoySansano Ellos lo hicieron, lo subi porque podria darse la casualidad que alguien no supo que lo subieron a ese foro y no esta de mas, todos los creditos a los chicos del foro soysansano. suerte, estudien mucho pd:espero que nadie se enoje porque lo subi :s Archivo(s) Adjunto(s) mat022_certamen3_1.2010.pdf ( 137.76k ) Número de descargas: 387 -------------------- PAz Estudiante Ingeniería Comercial UTFSM

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2013, 05:13 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Hola xd si no molesta, haré la parte de Complemento. (Iré editando a medida que vaya respondiendo) (creo q tardaré más de lo que espero en responder xd, creo q en unos meses ya los tendre si me acuerdo de este tema) 4. Pregunta: $TEX: $Si\;en\;el\;espacio\;vectorial\;\mathbb{R}^{3}\;se\;consideran\;los\;siguientes\;subconjuntos$\\[1mm]<br />$\beta _{1}=(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)\\\beta _{2}=(1,0,1),(0,1,1),(-1,1,0)\\\beta _{3}=(1,2,3),(-1,1,-1),(4,-1,1)$ \\[2mm]<br />$De\;las\;siguientes\;afirmaciones:$\\[2mm]<br />$I)\;\beta _{3}\;es\;una\;base\;de\;\mathbb{R}^{3}\\<br />II)\;\beta _{1}\;es\;una\;base\;de\;\mathbb{R}^{3}\\<br />III)\;\beta _{2}\;es\;una\;base\;de\;\mathbb{R}^{3}\\<br />Entonces\;son\;verdaderas:$$ Sol: Sé que hay una forma con determinante pero no quise usarla xd Notar que cada elemento de los subconjuntos pertenece a R^3, ahora se verá si son l.i: Para B_1 $TEX: $a(1,0,1)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=\vec{0}$\\<br />$\left.\begin{matrix}a=0\\ b=0\\ a+c=0\end{matrix}\right\}$\\$\therefore a=b=c=0$$ es l.i Para B_2 $TEX: $a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(-1,1,0)=\vec{0}$\\<br />$\left.\begin{matrix}a-c=0\\ b+c=0\\ a+b=0\end{matrix}\right\}$\\$Se\;concluye\;que\;es\;l.d$$ Viendo ya las alternativas se afirma que I y II son verdaderas. Mensaje modificado por Coto-kun el Jun 27 2013, 05:50 PM --------------------

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2013, 07:07 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{Solucion P12:}}} \hfill \\<br /> {\text{El polinomio caracteristico es }}p(x) = \det \left( {A - xI} \right) = (2 - x)^2 (4 - x){\text{, notamos que}} \hfill \\<br /> (2I - A)(4I - A) = \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /> { - 1} & { - 1} & { - 2} \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 2 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 2 & 0 \\<br /> { - 1} & { - 1} & 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right){\text{, por tanto el minimal}} \hfill \\<br /> {\text{es }}m(x) = (2 - x)(4 - x){\text{, luego es diagonalizable pues el minimal es producto de factores}} \hfill \\<br /> {\text{lineales con exponente 1}}{\text{. La matriz diagonal semejante a A es la que tiene sus valores}} \hfill \\<br /> {\text{propios en la diagonal}}{\text{, esto es }}D = \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 2 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 2 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 4 \\<br /><br /> \end{array} } \right). \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2013, 07:14 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{Solucion P9:}}} \hfill \\<br /> {\text{El polinomio caracteristico es }}p(x) = \det \left( {A - xI} \right) = \left\| {\begin{array}{{20}c}<br /> { - 1 - x} & 0 & 1 \\<br /> 3 & { - x} & { - 3} \\<br /> 1 & 0 & { - 1 - x} \\<br /><br /> \end{array} } \right\| \hfill \\<br /> = - x\left\| {\begin{array}{{20}c}<br /> { - 1 - x} & 1 \\<br /> 1 & { - 1 - x} \\<br /><br /> \end{array} } \right\| = - x\left\{ {\left( {1 + x} \right)^2 - 1} \right\} = - x\left( {1 + x - 1} \right)\left( {1 + x + 1} \right) = - x^2 (2 + x) \hfill \\<br /> {\text{Luego sus valores propios son 0 y - 2}}{\text{. El subespacio pedido ser\'i a el del 0}}{\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{si }}\left( {x,y,z} \right) \in E_0 \Rightarrow \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> { - 1} & 0 & 1 \\<br /> 3 & 0 & { - 3} \\<br /> 1 & 0 & { - 1} \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> x \\<br /> y \\<br /> z \\<br /><br /> \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \to \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> { - 1} & 0 & 1 \\<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> x \\<br /> y \\<br /> z \\<br /><br /> \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> \Rightarrow - x + z = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Asi: }}(x,y,z) = (x,y,x) = x(1,0,1) + y(0,1,0) \Rightarrow E_0 = \left\langle {(1,0,1),(0,1,0)} \right\rangle \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

JustFantasy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2013, 11:28 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 154 Registrado: 23-September 12 Desde: Hᵐ(Ω) Miembro Nº: 111.187 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 Si integramos la expresión pedida por partes, eligiendo $TEX: \[<br />u = x \Rightarrow dx = du \wedge f'(x)dx = dv \Rightarrow v = f(x)<br />\]$ se tiene que $TEX: \[<br />\int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)dx} = \left. {xf(x)} \right\|_{x = 1}^{x = 2} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) - M = f\left( 2 \right) - M<br />\]$ A) P3 Haciendo $TEX: \[<br />3x = \theta \Rightarrow dx = \frac{1}<br />{3}d\theta <br />\]$ tenemos que $TEX: \[<br />\int\limits_0^\pi {\sin \left( {3x} \right)\cos \left( {6x} \right)dx = } \frac{1}<br />{3}\int\limits_0^{3\pi } {\sin \left( \theta \right)\cos \left( {2\theta } \right)d\theta } <br />\]$ además, como $TEX: \[<br />\cos \left( {2\theta } \right) = 2\cos ^2 \theta - 1<br />\]$ , entonces $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{1}<br />{3}\int\limits_0^{3\pi } {\sin \left( \theta \right)\cos \left( {2\theta } \right)d\theta } = \frac{1}<br />{3}\int\limits_0^{3\pi } {\sin \theta \left( {2\cos ^2 \theta - 1} \right)d\theta } \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{3}\left( {2\int\limits_0^{3\pi } {\sin \theta \cos ^2 \theta d\theta } - \int\limits_0^{3\pi } {\sin \theta d\theta } } \right) \hfill \\<br /> = \frac{2}<br />{3}\int\limits_0^{3\pi } {\sin \theta \cos ^2 \theta d\theta } - \frac{1}<br />{3}\int\limits_0^{3\pi } {\sin \theta d\theta } \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ La integral de la izquierda resulta con el cambio de variable $TEX: \[<br />\cos \theta = z \Rightarrow dz = - \sin \theta d\theta <br />\]$ , entonces $TEX: \[<br />\frac{2}<br />{3}\int\limits_0^{3\pi } {\sin \theta \cos ^2 \theta d\theta } = - \frac{2}<br />{3}\int\limits_1^{ - 1} {z^2 dz} = \frac{2}<br />{3}\left. {\frac{{z^3 }}<br />{3}} \right\|_{z = - 1}^{z = 1} = \frac{4}<br />{9}<br />\]$ La de la derecha es inmediata, en efecto: $TEX: \[<br />\frac{1}<br />{3}\int\limits_0^{3\pi } {\sin \theta d\theta } = \left. { - \frac{1}<br />{3}\cos \theta } \right\|_{\theta = 0}^{\theta = 3\pi } = \frac{2}<br />{3}<br />\]$ Luego, $TEX: \[<br />\int\limits_0^\pi {\sin \left( {3x} \right)\cos \left( {6x} \right)dx = } \frac{2}<br />{3}\int\limits_0^{3\pi } {\sin \theta \cos ^2 \theta d\theta } - \frac{1}<br />{3}\int\limits_0^{3\pi } {\sin \theta d\theta } = \frac{4}<br />{9} - \frac{2}<br />{3} = - \frac{2}<br />{9}<br />\]$ P5 Notar que $TEX: \[<br />\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2x + 6}}<br />{{x^2 + 2x + 5}}dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2\left( {x + 1} \right) + 4}}<br />{{\left( {x + 1} \right)^2 + 4}}dx} <br />\]$ Haciendo $TEX: \[<br />x + 1 = u \Rightarrow du = dx<br />\]$ se tiene que $TEX: \[<br />\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2\left( {x + 1} \right) + 4}}<br />{{\left( {x + 1} \right)^2 + 4}}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{{2u + 4}}<br />{{u^2 + 4}}du} = \int\limits_0^2 {\frac{{2u}}<br />{{u^2 + 4}}du} + \int\limits_0^2 {\frac{4}<br />{{u^2 + 4}}du} <br />\]$ Para la integral de la izquierda: Haciendo el cambio de variable $TEX: \[<br />u^2 + 4 = t \Rightarrow dt = 2udu<br />\]$ se obtiene: $TEX: \[<br />\int\limits_0^2 {\frac{{2u}}<br />{{u^2 + 4}}du} = \int\limits_4^8 {\frac{1}<br />{t}dt} = \left. {\ln t} \right\|_{t = 4}^{t = 8} = \ln 2<br />\]$ Para la de la derecha: $TEX: \[<br />\int\limits_0^2 {\frac{4}<br />{{u^2 + 4}}du} = \int\limits_0^2 {\frac{1}<br />{{\frac{{u^2 }}<br />{4} + 1}}du} = \int\limits_0^2 {\frac{1}<br />{{\left( {\frac{u}<br />{2}} \right)^2 + 1}}du} = 2\left. {\arctan \left( {\frac{u}<br />{2}} \right)} \right\|_{u = 0}^{u = 2} = \frac{\pi }<br />{2}<br />\]$ Luego, $TEX: \[<br />\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2x + 6}}<br />{{x^2 + 2x + 5}}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{{2u}}<br />{{u^2 + 4}}du} + \int\limits_0^2 {\frac{4}<br />{{u^2 + 4}}du} = \ln 2 + \frac{\pi }<br />{2}<br />\]$ . B) P7 Considerar el cambio de variable $TEX: \[<br />t = \tan \left( {\frac{x}<br />{2}} \right) \Rightarrow dt = \frac{{\sec ^2 \left( {\frac{x}<br />{2}} \right)}}<br />{2}dx<br />\]$ , luego, como $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> t = \tan \left( {\frac{x}<br />{2}} \right) \Rightarrow t^2 = \tan ^2 \left( {\frac{x}<br />{2}} \right) = \sec ^2 \left( {\frac{x}<br />{2}} \right) - 1 \hfill \\<br /> \Rightarrow \sec ^2 \left( {\frac{x}<br />{2}} \right) = 1 + \tan ^2 \left( {\frac{x}<br />{2}} \right) \Leftrightarrow \sec ^2 \left( {\frac{x}<br />{2}} \right) = \frac{1}<br />{{\cos ^2 \left( {\frac{x}<br />{2}} \right)}} = 1 + t^2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ de aqui que $TEX: \[<br />dt = \frac{{\sec ^2 \left( {\frac{x}<br />{2}} \right)}}<br />{2}dx \Rightarrow dx = \frac{2}<br />{{1 + t^2 }}dt<br />\]$ Por otro lado, dado que $TEX: \[<br />\cos x = 2\cos ^2 \left( {\frac{x}<br />{2}} \right) - 1 \Rightarrow \cos x = 2\left( {\frac{1}<br />{{1 + t^2 }}} \right) - 1 = \frac{{1 - t^2 }}<br />{{1 + t^2 }}<br />\]$ De esta forma, se tiene que $TEX: \[<br />\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\frac{1}<br />{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{\left( {1 + \frac{{1 - t^2 }}<br />{{1 + t^2 }}} \right)}}\frac{2}<br />{{\left( {1 + t^2 } \right)}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{\left( {\frac{2}<br />{{1 + t^2 }}} \right)}}\frac{2}<br />{{\left( {1 + t^2 } \right)}}dt} = \int\limits_0^1 {dt} = 1<br />\]$ E) P10 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \sqrt {1 - x^2 } \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 1 - x^2 \geqslant 0 \Rightarrow x \in \left[ { - 1,1} \right] \hfill \\<br /> \left[ {a,b} \right] = \left[ { - 1,1} \right] \subset \mathbb{R} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ D) P11 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int\limits_2^4 {\frac{2}<br />{{e^x - e^{ - x} }}dx} = \int\limits_{e^2 }^{e^4 } {\frac{2}<br />{{u\left( {u - u^{ - 1} } \right)}}du} = 2\int\limits_{e^2 }^{e^4 } {\frac{1}<br />{{u^2 - 1}}du} \hfill \\<br /> = 2\int\limits_{e^2 }^{e^4 } {\left( {\frac{1}<br />{{2\left( {u - 1} \right)}} - \frac{1}<br />{{2\left( {u + 1} \right)}}} \right)du} \hfill \\<br /> = \int\limits_{e^2 }^{e^4 } {\left( {\frac{1}<br />{{\left( {u - 1} \right)}} - \frac{1}<br />{{\left( {u + 1} \right)}}} \right)du} \hfill \\<br /> = \int\limits_{e^2 }^{e^4 } {\frac{1}<br />{{u - 1}}du} - \int\limits_{e^2 }^{e^4 } {\frac{1}<br />{{u + 1}}du} \hfill \\<br /> = \left. {\ln \left( {\left\| {u - 1} \right\|} \right)} \right\|_{u = e^2 }^{u = e^4 } - \left. {\ln \left( {\left\| {u + 1} \right\|} \right)} \right\|_{u = e^2 }^{u = e^4 } \hfill \\<br /> = \left( {\ln \left( {\left\| {e^4 - 1} \right\|} \right) - \ln \left( {\left\| {e^2 - 1} \right\|} \right)} \right) - \left( {\ln \left( {\left\| {e^4 + 1} \right\|} \right) - \ln \left( {\left\| {e^2 + 1} \right\|} \right)} \right) \hfill \\<br /> = \ln \left( {\left\| {e^2 + 1} \right\|} \right) - \left( {\ln \left\| {\frac{{e^4 + 1}}<br />{{e^2 + 1}}} \right\|} \right) \hfill \\<br /> = \ln \left\| {\frac{{\left( {e^2 + 1} \right)^2 }}<br />{{e^4 + 1}}} \right\| \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ C) Salu2 -------------------- Y los médanos, serán témpanos en el vértigo, de la eternidad ...

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