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> I3 EDO 1-2010, Profesores: I. Huerta & G. Raykov
NickdrA
mensaje Jun 15 2010, 09:17 PM
Publicado: #1


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MAT1640
Interrogación I3

15 de Junio, 2010


TEX: <br />\begin{enumerate}<br />\item[1.] Sea $$ A = \left( \begin{array}{cc} 7 & 1 \\ -1 & 5 \end{array} \right).$$<br />\begin{itemize}<br />\item[(a)] Calcule la matriz $e^{tA}$, $t \in \mathbb{R}$.<br />\item[(b)] Resuelva el problema de Cauchy $$ \left\{ \begin{array}{l} x'(t)=7x(t)+y(t)+e^{6t},\\y'(t)=-y(t)+5x(t),\\ x(0)=0, \,  y(0)=1. \end{array} \right. $$<br />\end{itemize}<br />\item[2.] Considere el sistema de masas $m_1=m_2=1kg$ y de resortes $k_1$, $k_2$ y $k_3$ con constantes $1  \: N/m$, $4 \: N/m$ y $1 \: N/m$ respectivamente, como en la figura siguiente:<br />$$\mathrm{imagine \: un \: dibujo \: aqui}$$<br />Determine las posiciones $x_1(t)$, $x_2(t)$ de las masas $m_1$, $m2$ respectivamente, con respecto a sus posiciones de equlibrio para datos iniciales arbitrarios.<br />\item[3.] Sean $$ A = \left( \begin{array}{ccc} a&b&0 \\ -b & a&b \\ 0&-b&a\end{array} \right)$$<br />donde $a$ y $b$ son parámetros reales, $f(t;x_0) := \| x(t;x_0) \|$ donde $\|x(t;x_0)\|$ es la norma euclidiana de la solución $x(t;x_0)$ del problema de Cauchy<br />$$ \left\{ \begin{array}{l} x'(t)=Ax(t),\\x(0)=x_0.\end{array} \right.$$<br />Encuentre criterios sobre $a$ y $b$ para que:<br />\begin{itemize}<br />\item[(a)] la función $f$ sea acotada en $t \in \mathbb{R}$, es decir $\mathrm{sup}_{t \in \mathbb{R}} f(t;x_0) < \infty$, para todo $x_0 \in \mathbb{R}^3$;<br />\item[(b)] la función $f$ sea constante en $t \in \mathbb{R}$, es decir $f(t;x_0) = f(0;x_0)$, $\forall t \in \mathbb{R}$, para todo $x_0 \in \mathbb{R}^3$.<br />\end{itemize}<br />\emph{Ayuda:} Tenemos $A=aI+B$ donde $B$ es matriz antisimétrica.<br />\end{enumerate}<br />

La pregunta 4 viene en el siguiente post...

Mensaje modificado por NickdrA el Jun 15 2010, 10:58 PM


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NickdrA
mensaje Jun 15 2010, 10:14 PM
Publicado: #2


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TEX: <br />\begin{enumerate}<br />\item[4.] \begin{itemize} \item[(a)] Encuentre los puntos de equilibrio del sistema<br />$$ \left\{ \begin{array}{l} x'=x^2-y^2, \\ y'=x^2+y^2-18.\end{array} \right. $$<br />Utilizando el método de linealización, clasifíquelos cuando sea posible como atractores, repulsores o sillas.<br />\item[(b)] Demuestre que el sistema<br />$$ \left\{ \begin{array}{l} x'=2x-2y+2, \\ y'=4x^3-2x-2y+2,\end{array} \right. $$<br />es hamiltoniano y halle la función de Hamilton. Encuentre sus puntos de equilibro y clasifíquelos como estables o inestables.<br />\end{itemize}<br />\end{enumerate}<br />

El dibujo de la pregunta 2:


Tiempo: 2 horas y 15 minutos

Solo puedo decir que la 3 se me hizo bastante extraña usando la materia que vimos en clases, tal vez con bloques de Jordan de n x n podría haberse hecho algo más consistente como respuesta.

Que lo disfruten!!

Saludos zippyyeahbt5.gif zippyyeahbt5.gif

Mensaje modificado por NickdrA el Jun 15 2010, 10:20 PM
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Ernesto Piwonka
mensaje Jun 16 2010, 08:45 AM
Publicado: #3


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CITA(NickdrA @ Jun 16 2010, 12:14 AM) *
TEX: <br />\begin{enumerate}<br />\item[4.] \begin{itemize} \item[(a)] Encuentre los puntos de equilibrio del sistema<br />$$ \left\{ \begin{array}{l} x'=x^2-y^2, \\ y'=x^2+y^2-18.\end{array} \right. $$<br />Utilizando el método de linealización, clasifíquelos cuando sea posible como atractores, repulsores o sillas.<br />\item[(b)] Demuestre que el sistema<br />$$ \left\{ \begin{array}{l} x'=2x-2y+2, \\ y'=4x^3-2x-2y+2,\end{array} \right. $$<br />es hamiltoniano y halle la función de Hamilton. Encuentre sus puntos de equilibro y clasifíquelos como estables o inestables.<br />\end{itemize}<br />\end{enumerate}<br />

El dibujo de la pregunta 2:


Tiempo: 2 horas y 15 minutos

Solo puedo decir que la 3 se me hizo bastante extraña usando la materia que vimos en clases, tal vez con bloques de Jordan de n x n podría haberse hecho algo más consistente como respuesta.

Que lo disfruten!!

Saludos zippyyeahbt5.gif zippyyeahbt5.gif


¿Huerta haciendo EDO? Chuta, cómo ha cambiado el mundo...

En mi época (uuuuuh), Huerta hacía sólo ramos "vectoriales" (Álgebra Lineal típicamente), nunca de análisis. Pero de un tiempo a esta parte parece que se ha ido rotando la silla musical...

(sólo una disgresión)


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