Duda pregunta Estadística Opciones

[exmario]

Hola estoy haciendo una tarea de estadística y me quede pegado acá:

Parte iii.
Un individuo recibe $ W0, los cuales debe distribuir entre suceso A y su complemento Ac.
Suponga que asigna w al suceso A y W0 -w pesos al suceso Ac. La ganancia de la persona se
determina entonces como sigue: Si ocurre A, su ganancia es q1 * w; si ocurre Ac, su ganancia
es q2 * (W0 - w). Siendo q1 y q2 constantes positivas. Ademas, se sabe que Pr(A) = p y que
la funcion de utilidad de este individuo es U(x) = ln(x) para x > 0. Determine la cantidad w
que maximizara la utilidad esperada de la persona y demuestre que esta cantidad no depende
de los valores de q1 y q2.



No se como empezar, ni que tengo que utilizar.

Si me pueden ayudar, Gracias

[Ernesto Piwonka]

Hola estoy haciendo una tarea de estadística y me quede pegado acá:

Parte iii.
Un individuo recibe $ W0, los cuales debe distribuir entre suceso A y su complemento Ac.
Suponga que asigna w al suceso A y W0 -w pesos al suceso Ac. La ganancia de la persona se
determina entonces como sigue: Si ocurre A, su ganancia es q1 * w; si ocurre Ac, su ganancia
es q2 * (W0 - w). Siendo q1 y q2 constantes positivas. Ademas, se sabe que Pr(A) = p y que
la funcion de utilidad de este individuo es U(x) = ln(x) para x > 0. Determine la cantidad w
que maximizara la utilidad esperada de la persona y demuestre que esta cantidad no depende
de los valores de q1 y q2.
No se como empezar, ni que tengo que utilizar.

Si me pueden ayudar, Gracias

Lo primero es calcular el valor esperado de la ganancia en cualquier evento (x). Esta se obtiene como el producto, en cada caso, entre el valor de la ganancia a posteriori (es decir, la que se obtendría si ocurriera ese evento) y la probabilidad de que ese evento suceda. De este modo, tenemos que



y con eso tendremos la utilidad esperada (es decir, el nivel de satisfacción que esa ganancia le produce al individuo), obtenida como el logaritmo natural de la cantidad anterior:



Esta es la cantidad que se desea maximizar a partir de w. El análisis, sin embargo, nos dice que, como la función ln(x) es monótonamente creciente, su maximización implica simplemente maximizar a su vez su argumento, es decir, obtener el mayor valor de x en este caso. Pero x es lineal, por lo cual, para continuar el análisis, reescribámosla así:



De este modo, podemos tener 3 casos:

i) m>0: en este caso, el máximo valor de x lo tendremos en el máximo valor de w, es decir, .

ii) m=0: en este caso, la utilidad esperada es constante y no depende de w (se gana lo mismo en cualquier escenario)

iii) m<0: si ocurre esto, entonces el máximo valor de x se dará con el mínimo valor de w, es decir, cuando w=0.

Si se sabe a priori en cuál de estos tres casos estamos, entonces, efectivamente, el valor de w que maximiza la utilidad no depende de las constantes. Sin embargo, si no es así, entonces será el valor de éstas y de p el que dirá en qué caso caemos, y en ese sentido el valor de ls constantes sí influye sobre el valor de w que maximiza U. Imagino que el enunciado apunta a lo primero.

Espero que esto te ayude a aclarar un poco la cosa. Si no, pregunta nomás.