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aleph_omega Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2010, 05:31 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629	$TEX: \noindent Sea $T_0$ el triángulo formado por los vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(0,1)$. <br /><br />\noindent a) Demostrar que existe una aplicación $F$ biyectiva y afín entre $T_0$ y $T$ un triángulo cualquiera del plano.<br /><br />\noindent b) Mostrar que el jacobiano de $F$, cumple $\|J_F\|=2 A(T)$ donde $A(T)$ es el área de $T$<br /><br />\noindent c) Se define $H^1(T):=\{v\in L^2(T): v'\in L^2(T)\}$. Es decir, funciones que son integrables en el triángulo tales que su derivada ( débil, pero la derivada fuerte o normal tambien) tambien es integrable en el triángulo.<br /><br />\noindent En este espacio tiene sentido definir norma. La norma es $\|\|v\|\|_{0,T}:=\int_{T}v^2$<br /><br />\noindent Demuestre que $\|\|v\|\|_{0,T}\leq c\, diam(T) \|\|v\circ F\|\|_{0,T_0}$, <br /><br />\noindent donde $c$ es una constante que no depende del triángulo.$ Este problema es fácil, hay que saber leer, saber derivar, regla de la cadena y teorema del cambio de variable no mas, no hay que asustarse con las definiciones y cosas raras. saludos pD: Este resultado sirve para la implementación de elementos finitos. Mensaje modificado por aleph_omega el May 26 2010, 07:17 PM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2011, 12:31 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{enumerate}<br />\item Sea $T$ un triángulo de vértices $\vec r_i=(x_i,y_i)$ con $i\in\{1,2,3\}$. Se quieren constantes $a,b,c,d,e,f\in\mathbb R$ tales que <br />$$F(x,y)=\begin{pmatrix}<br />a&b\\<br />c&d<br />\end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br />x\\<br />y<br />\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}<br />e\\<br />f<br />\end{pmatrix}.$$<br />Imponiendo que $F(0,0)=(x_1,y_1)$ tenemos que $(e,f)=(x_1,y_1)$. Luego, imponiendo $F(1,0)=(x_2,y_2)$ y $F(0,1)=(x_3,y_3)$ sigue que <br />$$F(x,y)=\begin{pmatrix}<br />x_2-x_1&x_3-x_1\\<br />y_2-y_1&y_3-y_1<br />\end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br />x\\<br />y<br />\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}<br />x_1\\<br />y_1<br />\end{pmatrix}.$$<br />La biyectividad se deduce directamente de la construcción pues $\{(1,0),(0,1)\}$ es una base de $\mathbb R^2$.<br />\item El jacobiano de $F$ queda dado por <br />$$<br />\left\|<br />J_F<br />\right\|=\begin{vmatrix}<br />x_2-x_1&x_3-x_1\\<br />y_2-y_1&y_3-y_1<br />\end{vmatrix}=\\|(\vec r_2-\vec r_1)\times(\vec r_3-\vec r_1)\\|=2A(T).<br />$$<br />\item Sea $v\in H^1(T)$. Notemos que, como $F$ es un $\mathcal C^1$-difeomorfismo,<br />$$\int_{T} v^2 d\lambda^{\otimes 2}=\int_{T_0}(v\circ F)^2\|J_F\|d\lambda^{\otimes 2}=2A(T)\int_{T_0}(v\circ F)^2d\lambda^{\otimes 2},$$<br />es decir,<br />$$\\|v\\|_{0,T}=\sqrt{2A(T)}\\|v\\|_{0,T_0}.$$<br />Como $\operatorname{diam}(T)$ corresponde al diámetro de la circuferencia más pequeña que contiene al triángulo, entonces el área del triángulo está mayorada por el área de la circunferencia. Finalmente, se tiene que <br />$$\\|v\\|_{0,T}=\sqrt{2A(T)}\\|v\\|_{0,T_0}\le \sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{diam}(T)\\|v\\|_{0,T_0}. \quad\square$$<br />\end{enumerate}$ Asumí que a la norma le faltaba la raíz. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

aleph_omega Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2011, 06:46 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629	Muy bien, pasar a resueltos.

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