Sólo para los fmat-eros de verdad

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Sólo para los fmat-eros de verdad, Primera Maratón Mayor de FMAT

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 02:33 PM Publicado: #61
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Algo: Si la condición "para todo módulo m>0", se reemplazara por "para todo módulo primo > 0", la respuesta sería negativa. El contraejemplo lo proporciona(ría) el siguiente ejercicio del Niven-Zuckerman: $TEX: La congruencia $x^{8} \equiv 16 \pmod{p}$ es resoluble para cada primo $p$. $\medskip$<br /><br />\textbf{Solución.} Para $p=2$ es trivial. En otro caso, $(16,p)=1$ y la ecuación original es resoluble siempre que la ecuación $x^{(p-1)/(8,p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$ lo es. Si $(8,p-1) = 2$, entonces por el criterio de Euler $16^{(p-1)/2} \equiv (\frac{16}{p}) = 1 \pmod{p}$. Si $(8,p-1) = 4$, por pequeño teorema de Fermat, $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ y por tanto $16^{(p-1)/4} = (2^{4})^{(p-1)/4} \equiv 1 \pmod{p}.$ Si $(8,p-1) = 8$ entonces $16^{(p-1)/8} = 2^{(p-1)/2} \equiv (\frac{2}{p})\equiv (-1)^{(p^{2}-1)/8} = 1 \pmod{p}.$ <br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 04:06 PM Publicado: #62
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Aug 20 2012, 03:33 PM) Algo: Si la condición "para todo módulo m>0", se reemplazara por "para todo módulo primo > 0", la respuesta sería negativa. El contraejemplo lo proporciona(ría) el siguiente ejercicio del Niven-Zuckerman: $TEX: La congruencia $x^{8} \equiv 16 \pmod{p}$ es resoluble para cada primo $p$. $\medskip$<br /><br />\textbf{Solución.} Para $p=2$ es trivial. En otro caso, $(16,p)=1$ y la ecuación original es resoluble siempre que la ecuación $x^{(p-1)/(8,p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$ lo es. Si $(8,p-1) = 2$, entonces por el criterio de Euler $16^{(p-1)/2} \equiv (\frac{16}{p}) = 1 \pmod{p}$. Si $(8,p-1) = 4$, por pequeño teorema de Fermat, $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ y por tanto $16^{(p-1)/4} = (2^{4})^{(p-1)/4} \equiv 1 \pmod{p}.$ Si $(8,p-1) = 8$ entonces $16^{(p-1)/8} = 2^{(p-1)/2} \equiv (\frac{2}{p})\equiv (-1)^{(p^{2}-1)/8} = 1 \pmod{p}.$ <br />$ Buena observacion. Segun yo lo veo, cuando uno estudia ecuaciones modulo p es un problema de geometria, pero las ecuaciones modulo m son un problema de topologia (estoy exagerando en ambos casos para hacer notoria la diferencia). Como se trata de problemas distintos, el problema sigue abierto. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

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