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> Sólo para los fmat-eros de verdad, Primera Maratón Mayor de FMAT
coquitao
mensaje May 28 2010, 06:08 PM
Publicado: #21


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De hecho has escrito (casi) todo lo que se necesita para dar una prueba del resultado, XaPi. Ya te lo dije antes: es sólo cosa de que reorganices tu argumento.


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coquitao
mensaje May 31 2010, 03:24 PM
Publicado: #22


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Cambio de propuesto en breve... zippyyeahbt5.gif


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aleph_omega
mensaje May 31 2010, 09:37 PM
Publicado: #23


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¿Por qué siempre ponen puros problemas de grupos y álgebra ( esto va para coquitao sobretodo)? Son mas fomes, podrían ponerse algo de análisis ( incluso análisis en IR^n) para " ampliar" el universo que concursa en este juego, pues los problemas de análisis hay que mirarlos y salen con alguna idea brillante, en cambio esos problemas de grupos y álgebra hay que estar " en la onda" para hacerlos. Yo hace 3 años hize el ramo de estructuras, por lo tanto tengo algo oxidado mi entrenamiento con este tipo de problemas y no puedo atacarlos, en cambio uno de análisis , aunque hace 3 años haya hecho el ramo igual alumbra la solución pensando un poco.

pd: no quiero comprometerme con el concurso o juego xD es sólo un descargo personal, me estresa ver tanto problema de álgebra

Mensaje modificado por aleph_omega el May 31 2010, 09:39 PM
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coquitao
mensaje May 31 2010, 09:52 PM
Publicado: #24


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Apenas vamos con el tercer problema, aleph. No seas tan drástico. Además creo que tu opinión sobre los problemas de Análisis aplica también a los de Álgebra y viceversa. En el sector de Abstracta hay muchos que no requieren más que el uso de las definiciones básicas para ser resueltos.

Pero, en todo caso, el penúltimo propuesto fue de series y este último es una mezcla de Álgebra y Análisis básico. Por tanto, yo creo que la objeción ni tan siquiera tiene razón de ser.


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snw
mensaje May 31 2010, 10:06 PM
Publicado: #25


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entonces el nuevo propuesto es biggrin.gif ??


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coquitao
mensaje May 31 2010, 10:12 PM
Publicado: #26


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En unos instantes... Nada más por que el público lo exige.

3. Para cada número natural n exhiba un conjunto C de n números naturales tal que ningún subconjunto de C tenga por suma de elementos a un cuadrado perfecto positivo.

Ahí esta. Espero no tener que volver a cambiarlo una vez más. iconarrow7re.gif


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mensaje Jun 1 2010, 03:45 PM
Publicado: #27


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CITA(coquitao @ May 31 2010, 11:12 PM) *
3. Para cada número natural n exhiba un conjunto C de n números naturales tal que ningún subconjunto de C tenga por suma de elementos a un cuadrado perfecto positivo.


Considere el conjunto TEX: $\{2,2^3,...,2^{2n-1}\}$. Es claro que ninguno de estos elementos es cuadrado perfecto. Si TEX: $S=\{2^{a_1}, 2^{a_2},...,2^{a_k}\}$ para TEX: $a_1<a_2<...<a_k$ es un subconjunto del conjunto exhibido, se tiene que la suma de los elementos de TEX: $S$ es igual a TEX: $2^{a_1}(1+2(2^{b_2}+2^{b_3}+...+2^{b_k}))$ donde TEX: $b_j=a_j-a_1-1$. La máxima potencia de TEX: $2$ que divide a esta suma es TEX: $2^{a_1}$, y como éste no es cuadrado perfecto, su suma tampoco lo será. TEX: $\blacksquare$

Saludos


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Ricardo Vargas Obando
Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años).
Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile.



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  • "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."
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coquitao
mensaje Jun 1 2010, 05:24 PM
Publicado: #28


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La solución es perfecta, Fatal. Te toca proponer. Por si acaso, la solución que yo tenía contemplada es:

- Ningún cuadrado perfecto termina en un número impar de ceros. Luego bastaba con considerar n potencias de 10 con exponente impar. ∎


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mensaje Jun 1 2010, 05:36 PM
Publicado: #29


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4. Para cada natural, sea TEX: $A(n)$ el número formado al escribir ordenadamente en una sola fila los números de TEX: $1$ a TEX: $n$ pegados. Por ejemplo: TEX: $A(13)=12345678910111213$. ¿Es posible determinar la cantidad exacta de dígitos de TEX: $A(10^{2010}-1)$? Justifique.


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coquitao
mensaje Jun 1 2010, 05:41 PM
Publicado: #30


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Sí es posible. TEX: $10^{2010}$ es el primer número con 2011 dígitos. Luego, si c(k) denota la cantidad de números con k dígitos se sigue que

TEX: $A(10^{2010}-1) = c(1) + (2 \cdot c(2)) + \ldots + (2010 \cdot c(2010))$

Claramente, los c(k)'s son fáciles de obtener explícitamente. ∎


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