Sólo para los fmat-eros de verdad, Primera Maratón Mayor de FMAT Opciones

[coquitao]

El nombre del thread no debe entenderse como X fmat-ero de verdad si y sólo si X ha resuelto un problema de la maratón. De hecho, con sólo notar la existencia de la discusión o con uppearla, como el Geek acaba de hacerlo, se muestra que se es más fmat-ero que el usuario promedio. Saludos.

[El Geek]

Jajajaja. Vaya respuesta, nunca me lo esperé, en serio...

Ahora, veo que MakMat no puso ningún problema (que por cierto, con los problemas que ponen de verdad me hacen caer en depresión por no tener la habilidad para hacerlos) ¿Me dejan poner uno "facilito"?

[coquitao]

Creo que es hora de cambiar el problema... Es díficil que la solución al anterior aparezca ahora después de tanto tiempo. Ojalá haya mejor suerte con este:

3. Sea G el grupo conformado por las funciones continuas y biyectivas de [0,1] en [0,1] bajo la composición usual de funciones. Demuestre que si H es un subgrupo finito de G entonces |H| = 1 ó |H| = 2.

[XaPi]

Sabes?? no se si es correcta mi solucion (99% chances que no, 1% chances que si)

Pero la voy a poner igual. Así si me corriges, aprendo

Yo digo que es suficiente probar para los polinomios, porque toda funcion continua en un compacto es aproximable por polinomios. Entonces, a medida que voy disminuyendo el margen de error entre la funcion continua y su polinomio de aproximacion, este ultimo tiende a ser de mayor grado (a menos, obviamente, que la funcion que este considerando sea efectivamente un polinomio). En consecuencia, el orden de la funcion continua tiende a ser el orden del polinomio que lo aproxima. Es bastante intuitivo el argumento, pero a veces la intuicion falla... sino que lo diga Polya

Por otra parte, claramente todo polinomio de orden 2 o mas tiene orden infinito porque

x^n<x^{n-1}<...<x si x esta en (0,1)

Luego, de existir un subgrupo de orden finito, el polinomio asociado a tal subgrupo debe ser de grado 1.
Mas aun, por ser una biyeccion entre ambos conjuntos, se tienen 2 opciones:

f(0) = 0 y f(1)=1
o
f(1)= 0 y f(0)=1

en el primer caso esta la identidad (orden 1)
en el segundo caso, la funcion f(x) = 1-x (orden 2)

Y con eso daria por finalizado el problema


Esperando correciones!

Mensaje modificado por XaPi el May 28 2010, 01:02 AM

[coquitao]

Sabes?? no se si es correcta mi solucion (99% chances que no, 1% chances que si)

Pero la voy a poner igual. Así si me corriges, aprendo

Yo digo que es suficiente probar para los polinomios, porque toda funcion continua en un compacto es aproximable por polinomios. Entonces, a medida que voy disminuyendo el margen de error entre la funcion continua y su polinomio de aproximacion, este ultimo tiende a ser de mayor grado (a menos, obviamente, que la funcion que este considerando sea efectivamente un polinomio). En consecuencia, el orden de la funcion continua tiende a ser el orden del polinomio que lo aproxima. Es bastante intuitivo el argumento, pero a veces la intuicion falla... sino que lo diga Polya

Por otra parte, claramente todo polinomio de orden 2 o mas tiene orden infinito porque

x^n<x^{n-1}<...<x si x esta en (0,1)

Luego, de existir un subgrupo de orden finito, el polinomio asociado a tal subgrupo debe ser de grado 1.
Mas aun, por ser una biyeccion entre ambos conjuntos, se tienen 2 opciones:

f(0) = 0 y f(1)=1
o
f(1)= 0 y f(0)=1

en el primer caso esta la identidad (orden 1)
en el segundo caso, la funcion f(x) = 1-x (orden 2)

Y con eso daria por finalizado el problema
Esperando correciones!

El principal problema del enfoque por aproximación es que no todo polinomio te da una biyección entre [0,1] y [0,1]. Más aún, no resulta claro que considerando a aquellos que sí son biyectivos te quede un grupo bajo la composición usual. Eso es en cuanto al panorama gral. Otro detalle raro que veo por ahí es el hacer mención de un polinomio de aproximación cuando lo que el teorema de Weierstrass te asegura es una sucesión de polinomios que converge uniformemente en el compacto a la continua, etc, etc...

[XaPi]

Ok comprendo... no hay primera sin segunda entonces (y por mi parte, ultima, porque estoy que muero de sueño)



Me corriges si me equivoko.. pero de arreglarlo, lo hago mañana q ya me caigo del sueño


Saludos

[coquitao]

La idea es buena. Sin embargo, tienes que reescribir el argumento. En la últimas líneas reduces tu atención a un elemento particular de orden dos en G. ¿Acaso será que no hay más involuciones en el grupo?

[XaPi]

perdon, pero no entiendo el comentario...

[coquitao]

1-x no es el único elemento de orden dos en G.

[XaPi]

ah dale.. entonces no se que mas hacer xD

Estoy sumamente cansado y ganas de pensar no tengo muchas por hoy... queda desierta mi respuesta, y ojala alguien se anime y la complete...


Saludos