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Sólo para los fmat-eros de verdad, Primera Maratón Mayor de FMAT

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2010, 11:06 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Este tema pretende fungir como una especie de versión beta del juego del VoF de Jorgeston. La principal diferencia con el tema aquél es que las preguntas aquí no serán sólo del tipo falso/verdadero. Empezamos ahora: 1) Sea $TEX: $p$$ el factor primo más pequeño del número $TEX: $n$$ . Pruebe que si $TEX: $p > n^{1/3}$$ entonces $TEX: $n/p$$ es primo o es exactamente igual a $TEX: $1$$ . Sobra decir que las soluciones deben ser, en la medida de lo posible, autocontenidas. Además, se les invita a no postear su propuesto sino hasta que el revisor en turno se haya pronunciado. Pueden postear sus dudas o sugerencias con respecto al juego sobre la marcha... -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2010, 09:21 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(coquitao @ May 25 2010, 12:06 AM) 1) Sea $TEX: $p$$ el factor primo más pequeño del número $TEX: $n$$ . Pruebe que si $TEX: $p > n^{1/3}$$ entonces $TEX: $n/p$$ es primo o es exactamente igual a $TEX: $1$$ . Primero que nada gran iniciativa coquitao $TEX: Escribamos $n=p^r \prod_{i=1}^{k} {p_i}^{\alpha_i}$ (donde $p<p_1<...p_k$ son los divisores primos de $n$). La desigualdad planteada equivale a $p^3>n$ de donde es claro que $r<3$ (en el caso contrario se tendría que $1>\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$, lo cual es imposible). <br /><br />Si $r=2$, se tendría que $p>\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$. Si alguno de los $\alpha_i$ resulta mayor que $0$, la desigualdad sería falsa, por lo tanto $\alpha_1=\alpha_2=...= \alpha_k=0$. Entonces $n=p^2$ de donde se obtiene que $n/p=p$ y por ende $n/p$ es primo.<br /><br />Para $r=1$, la desigualdad equivale a $p^2>\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$. Pero veamos que $p^2<p_i^2$ para $i=1,2,...,k$ y $p^2<p_ip_j$ para $1\leq i<j\leq k$ de donde se deduce que $n/p=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ debe ser primo o igual a $1$, como se pedía.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2010, 02:24 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Bien, Fatal. Te toca proponer. P.D. 1. Sólo para contrastar me voy a permitir anotar la solución esperada. $TEX: Si $n/p$ no fuera primo ni $1$ entonces $n/p$ tendría un divisor primo $q$ menor o igual a $\sqrt{n/p} < \frac{\sqrt{n}}{n^{1/6}} = n^{1/3}$. Contradicción.$ P.D. 2. Sería bueno que al proponer le echen un vistazo al VoF de Jorgeston para que se vean el tipo de cosas sobre las cuales se pueden hacer preguntas: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=45758 -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2010, 03:03 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	2) Para cada natural $TEX: $n>1$$ , sean $TEX: $\omega_1, \omega_2,...,\omega_{n}$$ las raíces de la ecuación $TEX: $x^{n}-1=0$$ . Determine el mayor $TEX: $m\in \mathbb {R}$$ y el menor $TEX: $M\in \mathbb {R}$$ tal que $TEX: $$m<\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n-\omega_k}\leq M$$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2010, 03:33 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Si hacemos $p(x)= x^{n}-1 = (x-\omega_{1}) \cdots (x-\omega_{n})$ se obtiene (después de derivación logarítmica) que <br />$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x-\omega_{k}} = \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)}.$<br /><br />En particular, si $x=n$ se cumple que<br /><br />$\medskip$<br /><br />$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n-\omega_{k}} = \frac{n^{n}}{n^{n}-1}$<br />$\medskip$<br /><br />y por tanto $m=1= M.$<br /><br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2010, 03:37 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(coquitao @ May 25 2010, 04:33 PM) $TEX: Si hacemos $p(x)= x^{n}-1 = (x-\omega_{1}) \cdots (x-\omega_{n})$ se obtiene (después de derivación logarítmica) que <br />$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x-\omega_{k}} = \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)}.$<br /><br />En particular, si $x=n$ se cumple que<br /><br />$\medskip$<br /><br />$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n-\omega_{k}} = \frac{n^{n}}{n^{n}-1}$<br />$\medskip$<br /><br />y por tanto $m=1$ y $M = 4/3.$<br /><br />$ Solución correcta coquitao, justo la idea del problema. Dispare el suyo -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2010, 03:49 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	OK, Fatal. 3) Encuentre la suma de la siguiente serie $TEX: $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(2k+1)^{4} + 2500}.$$ Sobra decir que no se aceptan enfoques mágicos del tipo "el resultado es ..." La solución debe estar bien justificadita. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2010, 10:36 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(coquitao @ May 25 2010, 01:06 AM) 1) Sea $TEX: $p$$ el factor primo más pequeño del número $TEX: $n$$ . Pruebe que si $TEX: $p > n^{1/3}$$ entonces $TEX: $n/p$$ es primo o es exactamente igual a $TEX: $1$$ . Sea $TEX: $C=\dfrac{n}{p}$$ y suponga que no es $TEX: $1$$ ni $TEX: $primo$$ , luego como $TEX: $p$$ es su menor factor primo, tenemos que como $TEX: $C$$ es compuesto, podemos escribirlo como un producto de naturales mayores a $TEX: $1$$ , cada uno de ellos mayores a $TEX: $\sqrt[3]{n}$$ (puesto que si fueran menores contradicen que $TEX: $p$$ sea el menor factor), luego se tiene que como $TEX: $C=q_1q_2 > \sqrt[3]{n^2}$$ , luego tenemos que $TEX: $n=pC > \sqrt[3]{n^3}=n \implies n>n$$ , eso concluye la prueba. Otra solución distinta, Saludos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2010, 02:01 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Sólo añadir que en la línea 3 debe ser "puesto que si fueran menores o iguales contradicen que $TEX: $p$$ sea el menor factor..." Saludos, Dr. MakMat. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2010, 04:16 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si se me permite emitir una opinión: No soy un fmat-ero de verdad =( -------------------- Me voy, me jui.

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