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Evalúe la expresión, de mi cosecha

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~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2010, 06:51 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sean $a,b,c,d$ reales, tales que:$ $TEX: $a+b=c+d=2$$ $TEX: $ac+bd=0$$ $TEX: ¿Qué valores puede tomar la expresión: $\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ ?$ Se ruega que quienes ya conocen el problema (los del staff) lo respondan a menos que sea con una solución alternativa a la que expuse =) A decir verdad, admite una solución con una idea ingeniosa y poco usual, pero como siempre se esperan varias. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2010, 10:54 PM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Notar que por la identidad de cauchy $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}=\left(ad-bc\right)^{2}=\left(a(2-c)-c\left(2-a\right)\right)^{2}=\left(2a-2c\right)^{2}=4\left(a-c\right)^{2}$<br /> y <br /><br />$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2ac-2bd=\left(a-c\right)^{2}+\left(b-d\right)^{2}=2(a-c)^{2}$<br /> luego si $a-c\neq 0$ el valor es $\dfrac{1}{2}$, si $a=c\Rightarrow b=d\Rightarrow a^{2}+b^{2}=0$<br /> y la expresion queda indefinida.$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2010, 11:21 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gpipe @ May 16 2010, 12:54 AM) $TEX: Notar que por la identidad de cauchy $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}=\left(ad-bc\right)^{2}=\left(a(2-c)-c\left(2-a\right)\right)^{2}=\left(2a-2c\right)^{2}=4\left(a-c\right)^{2}$<br /> y <br /><br />$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2ac-2bd=\left(a-c\right)^{2}+\left(b-d\right)^{2}=2(a-c)^{2}$<br /> luego si $a-c\neq 0$ el valor es $\dfrac{1}{2}$, si $a=c\Rightarrow b=d\Rightarrow a^{2}+b^{2}=0$<br /> y la expresion queda indefinida.$ Ohh que buena Felipe no lo había pensado de ese modo Ahora la solución que esperaba (y que se me ocurrió al momento de crear el problema) $TEX: Supongamos que $a\not = c$. Como $ac+bd=0$, se tiene que: $$\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=\dfrac{(a-c)^2+(b-d)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$$<br /><br />Considere los puntos $O(0,0)$, $P(a,b)$ y $Q(c,d)$ en el plano cartesiano. Como $ac+db=0$ se cumple que $\overline {OP}\perp \overline {OQ}$ y por lo tanto el $\triangle OPQ$ es rectángulo en $O$. Note que por el triángulo rectángulo $OPQ$: $$\dfrac{(a-c)^2+(b-d)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=\dfrac{\overline {PQ}^2}{\overline {OP}^2\times\overline {OQ}^2}=\dfrac{1}{d(O, \overline {PQ})^2}$$<br /><br />Donde $d(O, \overline {PQ})$ denota la distancia de $O$ a la recta $\overline {PQ}$. Por otra parte, como $a+b=c+d=2$, se sigue que $P,Q$ yacen sobre la recta $x+y=2$, por lo tanto $d(O, \overline {PQ})=\sqrt{2}$. Finalmente, el valor de la expresión es igual a $\frac{1}{2}$. Ahora, si $a=c$ entonces $b=d$ y por lo tanto $0=ac+bd=a^2+b^2$ lo cual implica que $a=b=c=d=0$ lo cual es imposible$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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