Control 2 EDO 12/05/2010

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Control 2 EDO 12/05/2010, Salomé Martínez

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kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 03:35 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Control 2 MA 2601, 2010/1 Prof. Salomé Martínez Aux. Kasandra Pavez y Emilio Vilches Duración 3 hrs. 1. a) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial $TEX: $$y'' - 2y' + 2y = 4e^{2x} + 2e^x \cos x$$$ b) Encuentre la solución del problema de condiciones iniciales $TEX: $$x^2 y'' + 2xy' - 6y = 50\frac{{\ln x}}{{x^3 }},x > 0,$$$ $TEX: $$y(1) = 1,y'\left( 1 \right) = 5$$$ Indicación: Utilice el cambio de variables $TEX: $$x = e^t$$$ 2. a) Considere el problema de condiciones de borde $TEX: $$y'' + p\left( x \right)y = g\left( x \right)$$$ , $TEX: $x \in \left[ {a,b} \right]$$ , $TEX: $y(a) = y(b) = 0$$ donde $TEX: $p$$ , $TEX: $g$$ son funciones continuas en $TEX: $\left[ {a,b} \right]$$ . Demuestre que si $TEX: $p(x) \leqslant 0$$ para todo $TEX: $x \in \left[ {a,b} \right]$$ y si este problema posee solución entonces ésta es única. Indicación: Cuando $TEX: $g = 0$$ , multiplique la ecuación por $TEX: $y$$ y realice una integración por partes. b) Sea $TEX: $y_1$$ una solución no idénticamente nula y conocida de la ecuación $TEX: $a_2 \left( x \right)y'' + a_1 \left( x \right)y' + a_0 \left( x \right)y = 0$$ , (1) en un intervalo $TEX: $I$$ en el cual $TEX: $a_2 \left( x \right) \ne 0$$ . (i) Pruebe que toda solución $TEX: $y$$ de (1) satisface una ecuación diferencial de primer orden de la forma $TEX: $$y_1 \left( x \right)\frac{{dy}}{{dx}} - y'_1 \left( x \right)y = f\left( x \right)$$$ donde $TEX: $f$$ depende sólo de $TEX: $a_1 \left( x \right)$$ y $TEX: $a_2 \left( x \right)$$ (salvo una constante). Si $TEX: $y_1 > 0$$ en $TEX: $I$$ deduzca una expresión para una solución $TEX: $y_2$$ que sea linealmente independiente de $TEX: $y_1$$ . (ii) Usando lo anterior, determine una base del espacio solución de $TEX: $y'' + \left( {\tan x} \right)y' - 6\left( {\cot ^2 x} \right)y = 0$$ , $TEX: $$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$$$ sabiendo que $TEX: $y_1 = \sin ^3 \left( x \right)$$ es solución. 3. Considere el sistema de estanques de igual sección transversal $TEX: $S$$ , unidos por una tubería de sección $TEX: $A$$ y largo $TEX: $L$$ (ver figura 1). Inicialmente el nivel de los estanques es el mismo y el sistema está en equilibrio. En el instante $TEX: $t = 0$$ comienza a descargarse en el estanque de la derecha un caudal $TEX: $Q\left( t \right) = \alpha t$$ , $TEX: $\alpha > 0$$ constante. La ecuación diferencial que modela el sistema antes descrito cuando el flujo que circula por la cañería es laminar es: $TEX: $y'' + ay' + by=c + act$$ , $TEX: $\forall t \geqslant 0$$ $TEX: $y(0) = 0 , y'(0) = 0$$ donde $TEX: $y(t)$$ es la diferencia de nivel de los estanques en el instante $TEX: $t$$ , $TEX: $$a = \tfrac{{32\nu }}{{D^2 }} > 0$$$ , $TEX: $b = \tfrac{{2Ag}}{{SL}} > 0$$ , $TEX: $c = \tfrac{\alpha }{S} > 0$$ , con $TEX: $\nu$$ viscosidad cinmática del fluido. a) Encuentre $TEX: $y(t)$$ cuando no existen pérdidas friccionales en el sistema, es decir, cuando $TEX: $\nu = 0$$ (i.e $TEX: $a=0$$ ). b) Encuentre la solución general $TEX: $y(t)$$ cuando $TEX: $a \ne 0$$ , analizando separadamente los casos $TEX: $a^2 = 4b$$ , $TEX: $a^2 > 4b$$ , $TEX: $a^2 < 4b$$ . Bosqueje la solución en cada caso en función de $TEX: $t$$ . PD: La 3 venia con un dibujito, que la verdad, no ayuda en nada... (está todo planteado xd) PD: Prueba laaaarga, y no muy difícil. -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

pablomarcelo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 05:57 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 920 Registrado: 14-October 08 Miembro Nº: 36.137 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	un corcho larguisima me desmotivo tanto como la primera :snif:

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 10:10 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Una lata el control, especialmente la p3... la única piola fue la p2 a -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2012, 10:05 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	la p2 b ii salio este año

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