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> Control °1 CVV 2010/1, M. Leseigneur, Topología, FVV, Continuidad, Diferenciabilidad
unknown
mensaje May 9 2010, 04:05 PM
Publicado: #1


Dios Matemático
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Aca lo prometido chicos smile.gif
no lo postie antes porque me vino a ver tex error xd

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El 98% de los adolescentes han fumado,
si eres del dichoso 2% que no lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma
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PackardBell-
mensaje Apr 21 2012, 08:15 AM
Publicado: #2


Maestro Matemático
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pro casualidad, alguien tiene la solución del p2?
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Krebante
mensaje Apr 22 2012, 02:55 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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TEX: \textbf{(a)} Como TEX: $[0, 1]$ es compacto y los polinomios son continuos, TEX: $\|p\|$ está bien definida (o sea, el máximo se alcanza). Es directo de la definición que TEX: $\|p\| \geq 0$. Veamos que es norma:
  • TEX: \begin{align*}<br /> \|p\| = 0 &\iff \max_{x \in [0, 1]} |p(x)| = 0 \\<br /> &\iff p(x) = 0 \quad \forall x \in [0, 1] \\<br /> &\iff p = 0<br />\end{align*}

    ya que si TEX: $p \neq 0$ y es de grado TEX: $n > -\infty$, TEX: $p^{(n)}(1) = n! a_n \neq 0$, donde TEX: $a_n$ es el TEX: $n$-ésimo coeficiente de TEX: $p$.
  • TEX: \begin{align*}<br />\|\lambda p\| &= \max_{x \in [0, 1]} |\lambda p(x)| \\<br />&= \max_{x \in [0, 1]} |\lambda| |p(x)| \\<br />&= |\lambda| \max_{x \in [0, 1]} |p(x)| \\<br />&= |\lambda| \|p\|<br />\end{align*}
  • TEX: \begin{align*}<br />\|p + q\| &= \max_{x \in [0, 1]} |p(x) + q(x)| \\<br />&\leq \max_{x \in [0, 1]} (|p(x)| + |q(x)|) \\<br />&\leq \max_{x \in [0, 1]} |p(x)| + \max_{x \in [0, 1]} |q(x)|\\<br />&= \|p\| + \|q\|<br />\end{align*}
    ya que si TEX: $x^* \in [0, 1]$ es tal que TEX: $\max_{x \in [0, 1]}(|p(x)| + |q(x)|) = |p(x^*)| + |q(x^*)|$, se tiene que TEX: $|p(x^*)| \leq \max_{x \in [0, 1]} |p(x)|$ y TEX: $|q(x^*)| \leq \max_{x \in [0, 1]} |q(x)|$, lo que implica que TEX: $\max_{x \in [0, 1]}(|p(x)| + |q(x)|) \leq \max_{x \in [0, 1]} |p(x)| + \max_{x \in [0, 1]} |q(x)|$.

Así, TEX: $\|\cdot\|$ es norma.

TEX: \textbf{(b)} TEX: $L(p + \lambda q) = (p + \lambda q)(3) = p(3) + \lambda q(3) = L(p) + \lambda L(q)$.
TEX: \textbf{©} Notemos que TEX: $p_k(x)$ es creciente en TEX: $[0, 1]$ (su derivada es siempre positiva), por lo que el máximo se alcanza en TEX: $x = 1$, es decir, TEX: $\|p_k\| = p_k(1) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} \to 0$. Por otro lado, TEX: $|L(p_k)| = \left|\frac{3}{2}\right|^{2k} \to \infty$. Se concluye que TEX: $L$ no es continua (ya que si lo fuera, como TEX: $p_k \to 0$ y TEX: $L(0) = 0$, se tendría que TEX: $L(p_k) \to L(0) = 0$).


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