I2 Cálculo III s1-2010

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I2 Cálculo III s1-2010, Posteándola

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felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 08:10 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br />MAT1630 - Cálculo III\\<br />Interrogación 2 - Miércoles 05 de Mayo de 2010\end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Determinar la distancia máxima y la distancia mínima del origen $(0,0,0)$ a los puntos de la curva dada por:<br />\[ z=x^2+y^2 \ , \ x+2y+z=10 \]<br />\item Considere la ecuación $z^3+z(1-x^2+2x^4+y^2)=8$.<br />\begin{enumerate}<br />\item Demuestre que esta ecuación define localmente a $z=f(x,y)$ en torno a todo punto $(x_0,y_0,z_0)$ que la satisface.<br />\item Determine todos los puntos críticos de las funciones $f(x,y)$ así despejadas.<br />\item Determinar la naturaleza de dichos puntos críticos.<br />\end{enumerate}<br />\item Considere la transformación $F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ dada por<br />\[ u=xy^2 \ , \ v=x+3y \ , \ w=z-x \]<br />Se verifica que $F(A)=F(B)=(4,5,-2)=C$ para los puntos $A=(4,1,2)$, $B=(1,2,-1)$.<br />\begin{enumerate}<br />\item Pruebe que en torno a ambos puntos $A,B$ existen inversas locales $(x,y,z)=G_1(u,v,w)$ y $(x,y,z)=G_2(u,v,w)$ que satisfacen $G_1(C )=A,G_2(C )=B$.<br />\item Calcule $\partial x / \partial v$ en el punto $C$ para ambas inversas.<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate}<br />\item Considere el sistema dado por $F(x,y,u,v)=0$, $G(x,y,u,v)$, donde $F,G$ son funciones con derivadas parciales continuas que satisfacen<br />\[ \dfrac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}\neq 0 . \]<br />Muestre que para las variables $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$ despejadas localmente se cumple<br />\[ \dfrac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = \dfrac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}/ \dfrac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}. \]<br />\item Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ diferenciable, con $f(0,0)=1$, $\nabla f (0,0)=(a,b)$, $\nabla f (0,1)=(c,d)$, $f(0,1)=0$. Se define $g(x,y)=(yf(x,y),x-f(x,y))$. Encontrar $D(gog)(0,0)$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />$ -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 08:30 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(felper @ May 5 2010, 09:10 PM) Escribiendo. (pongo este tema para que no hayan dos personas haciendo lo mismo) ¡Vamos felper, tu puedes hacerlo! Por mientras, les pregunto: ¿cómo les fue ahora? Por mi parte, pensé que iba a estar más difícil la I2, pero estuvo larguísima. No era una Interrogación para 2 horas. -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

topo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 08:30 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 17-March 08 Miembro Nº: 17.131 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	larguisima ! me fue mas o menos

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 08:39 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ufff, larga, y un poco complicada la encontré. No me gustó mucho, mucho cálculo para poco tiempo. Al menos me fue decente xd. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 08:54 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(NickdrA @ May 5 2010, 09:51 PM) Me fue mucho mejor de lo que esperaba, aunque me condoreé en la 1 (acabo de comprobar con Maple) Las respuestas son $TEX: $\sqrt(420)$$ y $TEX: $\sqrt(30)$$ Bien, tengo la 1 buena. La clave era descartar la posibilidad de que lambda (el multiplicador del gradiente de la primera restricción, creo) fuera igual a 1. Mensaje modificado por OckUC el May 5 2010, 08:54 PM -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 10:51 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(NickdrA @ May 5 2010, 10:57 PM) Hize eso, e igual resolví mal el sistema... PD: que alguien se postee la pregunta 4 de los matemáticos... $TEX: $\\$Considere la clasica funcion sobre $Q=\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$: \[ f(x,y) =<br /> \begin{cases} 1 & \mbox{si x,y son racionales} \\<br /> 0 & \mbox{si uno es irracional} \\<br /> \end{cases}\]<br />Encuentre una sucesion $P_n$ de particiones de $Q$ tal que $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \|\| P_n \|\| =0$ y una sucesion de sumas de Riemman $S_n$ de tal manera que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n =1/2$<br />$ Pregunta 4 de los matemáticos. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

Gastón Burrull	May 5 2010, 11:00 PM Publicado: #9
Invitado	Para que se sepa, la diferencia entre las pruebas de ingeniería y matemáticas, solo era que los matemáticos tenían la pregunta que subió felper reemplazando nuestra pregunta 1, el resto de la prueba igual.

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