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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 03:26 PM Publicado: #91
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Jun 3 2010, 04:07 PM) no caxe, como llegas a la 2da igualdad de tu solucion (la q tiene pi) o es algo conocido xd Es un hecho "conocido" que $TEX: $\displaystyle \sum_{n\in \mathbb {N}} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$$ CITA(coquitao @ Jun 3 2010, 04:13 PM) No quisiera entrometerme demasiado, pero creo que no puede haber una solución más directa que esa. Fatal, you are the MAN! Por favor, entreguénle de una vez los premios al Sr. Jajaj gracias por los elogios coquitao :. No me sorprendería que makmat nos saliera con una solución elemental, lo cual me da curiosidad. Saludos y a la espera del veredicto de makmat -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 05:44 PM Publicado: #92
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(~Fatal_Collapse~ @ Jun 3 2010, 03:50 PM) $TEX: Sea $S=\sum_{p\in \mathbb {P}} p^{-2}$. Si $T$ es el conjunto de los naturales compuestos, se tiene que $\sum_{t\in T} t^{-2}=\pi^2/6-S-1$. Ahora, veamos que $$\displaystyle \sum_{x\in \mathcal{S}'} \dfrac{\xi(x)}{x^2}\leq 1+2\sum_{p\in \mathbb {P}} \dfrac{1}{p^2}+3\sum_{t\in T} \dfrac{1}{t^2}=\dfrac{\pi^2}{2}-S-2$$<br /><br />Basta decidir si $\pi^2/6- S -2$ es menor que $16384/5625$, pero esto es cierto, ya que $S>1/4$ y tomando aproximaciones decimales a mano se ve la desigualdad, esto también responde el inciso (b) (o sea, sí, es posible).$ Sinceramente no me parecio muy olimpica este intento de solución, espero que tu solución si sea olimpica. pd: 16384/5625... que numero mas "deprimente" xD Correcto, pero lo de "deprimente" no era necesario porque por lo menos en mi solución sí tiene su encanto. CITA(coquitao @ Jun 3 2010, 05:13 PM) No quisiera entrometerme demasiado, pero creo que no puede haber una solución más directa que esa. Fatal, you are the MAN! Por favor, entreguénle de una vez los premios al Sr. La verdad... de directa no sé si esta sea la "más", la mía anda por ahí... y yo creo que la mía si tiene "pinta" Olímpica, a decir verdad, vi un problema de una Olimpiada de Europa que usaba esta clase de conocimientos, pero no salía de lo Olímpico. Os muestro mi solución: Para la solución usaremos el hecho que: $TEX: $\displaystyle \zeta(s)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau (n)}{n^s}$$ Donde $TEX: $\zeta (s)$$ es la función Zeta de Riemann y $TEX: $\displaystyle \tau(n)=\sum_{d\|n}1$$ $TEX: Note que $\tau (n) \ge \xi (n)$, luego: $$\displaystyle \sum_{x\in \mathcal{S}'} \dfrac{\xi(x)}{x^2}\le \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\tau(n)}{n^2}=\zeta(2)^2=\Bigl(\dfrac{\pi^2}{6}\Bigr)^2\le \Bigl(\dfrac{2^{10}}{600}\Bigr)^2=\dfrac{2^{14}}{5^4\cdot 3^2}=\dfrac{16384}{5625}$$$ De verdad mucho más Olímpica, pero eso queda a su criterio. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 06:21 PM Publicado: #93
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sigamos con un problema apto para todo público, hay al menos dos soluciones (donde se admiten varios variantes), asi que el camino no es único. $TEX: \textbf {Problema 22:} Sea $\triangle ABC$ un triángulo tal que $\overline {AB}>\overline {AC}$. Sean $M,L$ puntos sobre $\overline {BC}$, tales que $M$ es el punto medio de $\overline {BC}$ y $\overline {AL}$ corta el ángulo $\measuredangle BAC$ en dos ángulos de igual medida. Considere una recta $\ell$ que pasa por $M$, con $\ell$ perpendicular a $\overline {AL}$. Si $D$ es el punto donde $\ell$ corta al segmento $\overline {AB}$, demuestre que: $$\overline {AB}+\overline {AC}=2\cdot \overline {AD}$$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 07:37 PM Publicado: #94
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Aqui mi solucion: $TEX: Sea $E$ el punto de interseccion de $DN$ y $AC$. Tenemos que DAE es isoceles en A. Entonces es obvio que $AB+AC=2AD \Leftrightarrow BD=CE$. Pero usando ley de senos obtenemos en MBD y MCE obtenemos: $BD= \dfrac{BMsen \angle{BMD}}{sen \angle{BDM}}$ y $CE=\dfrac{CMsen \angle{CME}}{sen \angle{MCE}}$. Pero como $CM=BM, \angle{BMD}=\angle{CME}$ y $sen \angle{BDM}=sen \angle{MCE}$ (porque $\angle{BDM}+\angle{MCE}=180$) se tiene que $BD=CE$ y se finaliza.$ Sorry por no poner dibujo -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 07:54 PM Publicado: #95
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Jun 3 2010, 08:37 PM) Aqui mi solucion: $TEX: Sea $E$ el punto de interseccion de $DN$ y $AC$. Tenemos que DAE es isoceles en A. Entonces es obvio que $AB+AC=2AD \Leftrightarrow BD=CE$. Pero usando ley de senos obtenemos en MBD y MCE obtenemos: $BD= \dfrac{BMsen \angle{BMD}}{sen \angle{BDM}}$ y $CE=\dfrac{CMsen \angle{CME}}{sen \angle{MCE}}$. Pero como $CM=BM, \angle{BMD}=\angle{CME}$ y $sen \angle{BDM}=sen \angle{MCE}$ (porque $\angle{BDM}+\angle{MEC}=180$) se tiene que $BD=CE$ y se finaliza.$ Sorry por no poner dibujo Solo un mínimo error de tipeo, pero la idea es correcta , y lo del dibujo, siguiendo la lectura uno puede hacerlo en un cuaderno y entender mejor lo que se hizo. Este problemita era simple, no hay que tenerle miedo. Dispare el siguiente Diego -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 08:39 PM Publicado: #96
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	El sgt problema me lo invente yo haciendo otro problema de geometria, la parte a) esta facil y la b) ya se complica un poco. $TEX: \textbf {Problema 22:} Sea $ABCD$ un cuadrilatero ciclico de centro $O$ con $AB$ no paralelo a $CD$. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $90=\angle{PBA}=\angle{PCD}=\angle{QAB}=\angle{QDC}$ y sea $R$ el punto de interseccion de $AC$ y $BD$. Pruebe que:$ $TEX: a) $O$ es el punto medio de $PQ$$ $TEX: b) $P,Q,R$ son colineales$ -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2010, 12:38 AM Publicado: #97
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(makmat @ Jun 3 2010, 04:44 PM) Os muestro mi solución: Ir a http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=516...t=0#entry369733 para una prueba de la identidad central en el enfoque de makmat. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Assassin.... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2010, 10:46 PM Publicado: #98
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 20-October 07 Miembro Nº: 11.559 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent (a) Tracemos la circunferencia $\Gamma$ que pasa por $A$, $B$, $C$ y $D$. Sea $E=\overrightarrow{CP}\cap \Gamma$ y $F=\overrightarrow{BP}\cap \Gamma$. Como $\angle{ECD}=\angle{ABF}=90$, $ED$ y $AF$ son diámetros, es decir $E,\ O,\ D$ son colineales, $A,\ O,\ F$ son colineales y $EO=OD$. Por enunciado sabemos que $EC\parallel QD$, Luego $\triangle{EOP}\sim \triangle{DOQ}\Rightarrow O$ es punto medio de $PQ$.\\ <br /><br />\noindent (b) Como $B,\ E,\ A,\ D,\ F,\ C$ son concíclicos podemos aplicar el Teorema de Pascal, de lo que se concluye que $P$, $R$ y $O$ son colineales. Pero como $Q\in \overrightarrow{PO}$ se sique que $P$, $Q$, y $R$ son colineales. \\<br /><br />\noindent Demostrando lo pedido $\blacksquare$$ Mensaje modificado por Assassin.... el Jul 8 2010, 01:02 PM

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2010, 12:46 PM Publicado: #99
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Excelente solucion, la idea de usar pascal no se me habia ocurrido, pero de todas formas lo habia desmotrado usando complejos (luego pongo la solucion, que es bastante cortita ^^). dispare su problema -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Assassin.... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2010, 01:29 PM Publicado: #100
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 20-October 07 Miembro Nº: 11.559 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema 23:} Sean $a,\ b,\ c >0$ con $a+b+c=1$. Pruebe que: <br />$$\dfrac{a}{(b+c)^2}+\dfrac{b}{(c+a)^2}+\dfrac{c}{(a+b)^2}\geq \dfrac{9}{4}$$$

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