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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2010, 09:38 PM Publicado: #81
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Gracias por el dato. -------------------- Me voy, me jui.

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2010, 06:29 PM Publicado: #82
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gpipe @ May 29 2010, 10:27 PM) $TEX: \textbf {Problema 20:} Sea $n$ un entero positivo. Resuelva el sistema:$ $TEX: $<br />x_{1}+x_{2}^{2}+x_{3}^{3}+\cdots x_{n}^{n}=n$$ $TEX: $x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+\cdots nx_{n}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$ en los reales no negativos.$ Aprovecho de up-pear el propuesto de gpipe, ya que de no ser por las reglas que hay en la maratón, ya lo habría respondido. Tampoco puedo dar hint, ya que eso le corresponde a gpipe asi que estoy a la espera que alguien lo likide (como podrán ver toy ansioso ^^). Como pista, les puedo decir que si gpipe llega a dar un hint, el problema ya estaria casi resuelto, asi que no creo que haya necesidad de hint Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2010, 10:46 PM Publicado: #83
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gpipe @ May 29 2010, 11:27 PM) $TEX: \textbf {Problema 20:} Sea $n$ un entero positivo. Resuelva el sistema:$ $TEX: $<br />x_{1}+x_{2}^{2}+x_{3}^{3}+\cdots x_{n}^{n}=n$$ $TEX: $x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+\cdots nx_{n}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$ en los reales no negativos.$ Bastante ingenioso, y debo decir que con este propuesto aprendí algo que jamás se me hubiera ocurrido, para "calmar" la ansiedad de Ricardo, aquí va la solución: $TEX: Por AM-GM se tiene: $a_1\ge a_1$, $a_2^2+1\ge 2a_2$; ...; $a_n^n+(n-1)\ge n a_n$; Sumando todas las desigualdades tenemos: $a_1+a_2^2+...+a_n^n+1+2+...+(n-1)\ge a_1+2a_2+...+na_n \implies \dfrac{n(n+1)}{2}\ge\dfrac{n(n+1)}{2}$, y la igualdad se alcanza cuando $a_1=...=a_n=1$. $\blacksquare$$ Bastante ingenioso, me siento pequeño al ver este propuesto Saludos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2010, 12:14 PM Publicado: #84
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	simplemente brillante, trate un monton, intente usar desigualdades pero no se me ocurrio hacerlo de esa manera, espero ver mas problemas asi en la maraton. Saludos -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2010, 12:58 PM Publicado: #85
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ Jun 1 2010, 11:46 PM) Bastante ingenioso, y debo decir que con este propuesto aprendí algo que jamás se me hubiera ocurrido, para "calmar" la ansiedad de Ricardo, aquí va la solución: $TEX: Por AM-GM se tiene: $a_1\ge a_1$, $a_2^2+1\ge 2a_2$; ...; $a_n^n+(n-1)\ge n a_n$; Sumando todas las desigualdades tenemos: $a_1+a_2^2+...+a_n^n+1+2+...+(n-1)\ge a_1+2a_2+...+na_n \implies \dfrac{n(n+1)}{2}\ge\dfrac{n(n+1)}{2}$, y la igualdad se alcanza cuando $a_1=...=a_n=1$. $\blacksquare$$ Bastante ingenioso, me siento pequeño al ver este propuesto Saludos. Quizás no se vea evidente que $TEX: $a_1\ge a_1$, $a_2^2+1\ge 2a_2$; ...; $a_n^n+(n-1)\ge n a_n$$ , pero como dijo makmat, es solo AM-GM, pero aplicado de la siguiente forma: $TEX: $a_k^k+(k-1)=a_k^k+\underbrace {1+1+...+1}_{\text {(k-1) veces uno}} \ge k\sqrt[k]{a_k^k}=k\cdot a_k$$ Eso fue , mientras esperamos el veredicto de gpipe -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2010, 07:30 PM Publicado: #86
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	correcto

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2010, 08:42 PM Publicado: #87
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Luego de la revisión de gpipe que nos dejó un bellísimo propuesto, proseguimos: Os dejo un problema inspirado en un propuesto de Fatal. Espero os agrade. $TEX: \textbf {Problema 21:} Sea $\mathcal{P}$ una sucesión infinita de primos ($\mathcal{P}\subseteq \mathbb{P}$) y $\mathcal {S}$ el conjunto de todos los naturales tales que todos sus factores primos aparecen en $\mathcal{P}$ (denote $\mathcal{S}'=\mathcal{S}\cup \{1\}$). Ahora defina una sobreyección $\xi : \ \mathbb{N}\rightarrow \{1, 2, 3\}$, tal que:<br />$$\xi(n)=\begin{cases} 1$, si $ n=1 \\2$, si es primo$ \\3$, si es compuesto.$\end{cases}$$$ $TEX: $(a)$. Pruebe o refute: $$\displaystyle \sum_{x\in \mathcal{S}'} \dfrac{\xi(x)}{x^2}<\dfrac{16384}{5625}\cdot$$$ $TEX: $(b)$. Decida si es posible encontrar una mejor cota $\mathcal{C}$ para esa desigualdad.$ A decir verdad no es complejo y tiene linda solución. Dios los bendiga. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 01:50 PM Publicado: #88
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ Jun 2 2010, 09:42 PM) Luego de la revisión de gpipe que nos dejó un bellísimo propuesto, proseguimos: Os dejo un problema inspirado en un propuesto de Fatal. Espero os agrade. $TEX: \textbf {Problema 21:} Sea $\mathcal{P}$ una sucesión infinita de primos ($\mathcal{P}\subseteq \mathbb{P}$) y $\mathcal {S}$ el conjunto de todos los naturales tales que todos sus factores primos aparecen en $\mathcal{P}$ (denote $\mathcal{S}'=\mathcal{S}\cup \{1\}$). Ahora defina una sobreyección $\xi : \ \mathbb{N}\rightarrow \{1, 2, 3\}$, tal que:<br />$$\xi(n)=\begin{cases} 1$, si $ n=1 \\2$, si es primo$ \\3$, si es compuesto.$\end{cases}$$$ $TEX: $(a)$. Pruebe o refute: $$\displaystyle \sum_{x\in \mathcal{S}'} \dfrac{\xi(x)}{x^2}<\dfrac{16384}{5625}\cdot$$$ $TEX: $(b)$. Decida si es posible encontrar una mejor cota $\mathcal{C}$ para esa desigualdad.$ A decir verdad no es complejo y tiene linda solución. Dios los bendiga. $TEX: Sea $S=\sum_{p\in \mathbb {P}} p^{-2}$. Si $T$ es el conjunto de los naturales compuestos, se tiene que $\sum_{t\in T} t^{-2}=\pi^2/6-S-1$. Ahora, veamos que $$\displaystyle \sum_{x\in \mathcal{S}'} \dfrac{\xi(x)}{x^2}\leq 1+2\sum_{p\in \mathbb {P}} \dfrac{1}{p^2}+3\sum_{t\in T} \dfrac{1}{t^2}=\dfrac{\pi^2}{2}-S-2$$<br /><br />Basta decidir si $\pi^2/6- S -2$ es menor que $16384/5625$, pero esto es cierto, ya que $S>1/4$ y tomando aproximaciones decimales a mano se ve la desigualdad, esto también responde el inciso (b) (o sea, sí, es posible).$ Sinceramente no me parecio muy olimpica este intento de solución, espero que tu solución si sea olimpica. pd: 16384/5625... que numero mas "deprimente" xD -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 03:07 PM Publicado: #89
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	no caxe, como llegas a la 2da igualdad de tu solucion (la q tiene pi) o es algo conocido xd -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 03:13 PM Publicado: #90
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(~Fatal_Collapse~ @ Jun 3 2010, 12:50 PM) $TEX: Sea $S=\sum_{p\in \mathbb {P}} p^{-2}$. Si $T$ es el conjunto de los naturales compuestos, se tiene que $\sum_{t\in T} t^{-2}=\pi^2/6-S-1$. Ahora, veamos que $$\displaystyle \sum_{x\in \mathcal{S}'} \dfrac{\xi(x)}{x^2}\leq 1+2\sum_{p\in \mathbb {P}} \dfrac{1}{p^2}+3\sum_{t\in T} \dfrac{1}{t^2}=\dfrac{\pi^2}{2}-S-2$$<br /><br />Basta decidir si $\pi^2/6- S -2$ es menor que $16384/5625$, pero esto es cierto, ya que $S>1/4$ y tomando aproximaciones decimales a mano se ve la desigualdad, esto también responde el inciso (b) (o sea, sí, es posible).$ Sinceramente no me parecio muy olimpica este intento de solución, espero que tu solución si sea olimpica. pd: 16384/5625... que numero mas "deprimente" xD No quisiera entrometerme demasiado, pero creo que no puede haber una solución más directa que esa. Fatal, you are the MAN! Por favor, entreguénle de una vez los premios al Sr. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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