Primera Maratón Olímpica 2010 - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias Olimpicas FMAT

14 Páginas:

« < 6 7 8 9 10 > »

Reply to this topic

Start new topic

Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2010, 09:09 PM Publicado: #71
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ May 21 2010, 06:56 PM) No voy a dibujar nada porq no tengo programa para graficar =(. pero ahi va la solucion $TEX: Sea $c$ la hipotenusa, y $b$ el otro cateto, tenemos que $\frac {c}{2}=\sqrt{ab} \Rightarrow c^2=4ab$ Y usando pitagoras y la ecuacion cuadratica: $a^2+b^2=4ab \Rightarrow b=a(2 \pm \sqrt{3})$$ $TEX: Ahora veamos como construir esas 2 soluciones: Supongamos que $AB=a$. Construimos el rombo $ACBD$ tal que $AC=a$. Entonces $CD=\sqrt{3} a$. Para obtener $C$ y $D$, hacemos centro en $B$, radio $a$, y trazamos una circunferencia, luego centro en A, radio a y trazamos otra circunferencia que se intersecta con la anterior en los puntos C y D. Ahora trazamos una recta $l$ cualquiera, centro en cualquier punto de $l$, radio $a$ y obtenemos dos puntos de interseccion con $l$ que son $P$ y $Q$ que cumplen $PQ=2a$ Luego hacemos centro en $Q$, radio $CD$ y trazamos una circunferencia que intersecta $l$ en $R$ y $S$ ($R$ esta entre $P$ y $Q$). Entonces tenemos $PR=a(2+\sqrt{3})$ y $PS=a(2-\sqrt{3})$. Asi se obtenemos los 2 catetos que buscabamos. Ahora solo queda construir los 2 triangulos rectangulos que son solucion (ya tenemos los catetos), pero esta construccion se deja a cargo del lector.$ Aqui un dibujo pa q ayude en algo :S Validaré, pero con un desazón, no queda a cargo del lector la construcción, es como decirle a los jueces que ellos resuelvan el problema que en esencia se nos pide, la gracia del problema era "construir" el triángulo, y que al final se lo dejes al lector, cuando solo te faltaba ese último paso, le hace perder la belleza al propuesto al no cumplirse del todo el objetivo. He aquí mi construcción del "triángulo", los pasos anteriores fueron ya cubiertos por Diego. cons.jpg ( 25.02k ) Número de descargas: 3 $TEX: Construya un segmento de medida $a+b$ ($AC=a$ y $BC=b$), donde $a$ y $b$ son las medidas de los catetos, luego trácese la circunferencia de diámetro $a+b$ (no es difícil construir la simetral con el compás del segmento $a+b$ y en la intersección de la simetral y el segmento trazamos la circunferencia), si trazamos la perpendicular en $C$ a $AB$, tenemos que $EF=2 \sqrt{ab}$ (ver dibujo), que por enunciado es nuestra hipotenusa, trazamos una circunferencia con centro en $C$ y radio $CF$, tenemos ahora que desde $E$ o $F$ podemos trazar con compás un segmento $EG$ ($G$ en $\bigodot(C,\sqrt{ab})$) de medida $a$, luego unimos $G$ y $F$ y ya tenemos nuestro triángulo, la otra construcción es similar. $\square$$ Saludos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2010, 03:53 PM Publicado: #72
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	xd, es que como ya habia hallado los catetos, como q lo demas era "casi" obvio, pero bueno, sigamos con la causa: Aqui un problema que me invente (y q no resolvi xd): $TEX: \textbf{Problema 18:} Demuestre o refute: Dada una recta $\ell$ dada por $y=mx$ en el plano cartesiano, para todo $r>0$ existe un punto $P\neq (0,0)$ tal que $d(P, \ell)<r$$ d(P,l) es la distancia de P a l. Saludos y espero ver bonitas soluciones Mensaje modificado por xD13G0x el May 23 2010, 07:37 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2010, 05:36 PM Publicado: #73
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ May 23 2010, 04:53 PM) $TEX: \textbf{Problema 18:} Demuestre o refute: Dada una recta $\ell$ dada por $y=mx$ en el plano cartesiano, donde $m$ es un numero irracional, para todo $r>0$ existe un punto $P\neq (0,0)$ tal que $d(P, \ell)<r$$ $TEX: La proposición es verdadera. Sea $P=(x_1,y_1)$ un punto del plano cartesiano. Veamos que: $$d(P, \ell)=\dfrac{\|mx_1-y_1\|}{\sqrt{m^2+1}}$$ Entonces debemos mostrar que para cada $r>0$ existe $(a,b)\in \mathbb {Z}^2$ tal que $\|am-b\|<r\cdot \sqrt{m^2+1}$.<br /><br /> Sea $N\in \mathbb {N}$, com $n>1$ tal que $N\cdot r\sqrt {m^2+1}>1$. Consideremos la partición del intervalo $[0,1[$ en $N$ intervalos disjuntos $[0, \frac{1}{N}[, [\frac{1}{N},\frac{2}{N}[,..., [1-\frac{1}{N},1[$. Ahora, tomemos los $N+1$ reales $\{m\}, \{2m\},...,\{(N+1)m\}$ (donde $\{t\}$ es la parte fraccionaria de $t$). Por el principio del palomar, existen $1\leq i<j\leq N+1$ tales que $\{im\}$ y $\{jm\}$ viven en el mismo intervalo, o equivalentemente: $$\dfrac{1}{N}>\|\{im\}-\{jm\}\|=\|(i-j)m-(\lfloor im \rfloor-\lfloor jm \rfloor)\|$$<br /><br />Como $r\cdot \sqrt{m^2+1}>\frac {1}{N}$, se concluye que escogiendo $a=i-j$ y $b=\lfloor im \rfloor-\lfloor jm \rfloor$ obtenemos lo pedido. $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2010, 07:35 PM Publicado: #74
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Me alegro al ver q los problemas q se me ocurre tienen soluciones bonitas (aunque seguramente ya se le habra ocurrido a otra persona antes), y que la condicion de m irracional esta demas, y por lo tanto la voy a borrar, porque ni en tu solucion aparece (lo que queria era en realidad que si alguien posteaba solucion, se olvide del caso m racional, y se vaya directo al grano). Atentos que el vargas tiene que disparar. PD: Me invente otro problema de geometria q esta para quemarse las pestañas ya lo van a ver. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2010, 09:03 AM Publicado: #75
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El autentico p19 se fue a mejor mundo (sector olimpico), ya que al parecer fue intimidante. Ahora se dejara uno de repuesto, espero que no demoren tanto con este simpatico problema que no es complicado $TEX: \textbf {Problema 19:} Sean $a_1, a_2,...,a_{2011}$ reales positivos tales que: $$a_1+a_2+...+a_{2011}\leq 900$$<br /><br />Demuestre que existen $1\leq i<j\leq 2011$ tales que $\|\sqrt{a_i}-\sqrt{a_j}\|\leq \dfrac{1}{67}$$ Saludos Pista: Encuentre una relación adecuada que vincule los numeritos... 2011, 2010, 900, 67 . "Todo está vinculado" -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2010, 09:18 PM Publicado: #76
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Como $a_{1}+\cdots a_{2011}\leq900$, $\sqrt{a_{i}}<30$ considerando <br />el intérvalo $(0,30)$ y dividiendolo en $2010$ intérvalos de largo $\dfrac{1}{67}$<br /> por principio del palomar existen$i,j$ tal que $a_{i}$ y $a_{j}$ <br />están en el mismo intérvalo y luego $\mid\sqrt{a_{i}}-\sqrt{a_{j}}\mid\leq\dfrac{1}{67}<br />$.$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2010, 09:22 PM Publicado: #77
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gpipe @ May 29 2010, 10:18 PM) $TEX: Como $a_{1}+\cdots a_{2011}\leq900$, $\sqrt{a_{i}}<30$ considerando <br />el intérvalo $(0,30)$ y dividiendolo en $2010$ intérvalos de largo $\dfrac{1}{67}$<br /> por principio del palomar existen$i,j$ tal que $a_{i}$ y $a_{j}$ <br />están en el mismo intérvalo y luego $\mid\sqrt{a_{i}}-\sqrt{a_{j}}\mid\leq\dfrac{1}{67}<br />$.$ Solucion correcta gpipe , corta y precisa. Dispare su propuesto ^^ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2010, 09:27 PM Publicado: #78
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \textbf {Problema 20:} Sea $n$ un entero positivo. Resuelva el sistema:$ $TEX: $<br />x_{1}+x_{2}^{2}+x_{3}^{3}+\cdots x_{n}^{n}=n$$ $TEX: $x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+\cdots nx_{n}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$ en los reales no negativos.$ Mensaje modificado por gpipe el May 30 2010, 04:57 PM Razón de edición: añadiendo info del problema. F.C

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2010, 09:28 PM Publicado: #79
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Existe los intervalos (así , asá)??? hasta donde yo se es [asi, asa] ó ]así, asá[ ó ]así, asá] ó [así, asá[ D: -------------------- Me voy, me jui.

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2010, 09:30 PM Publicado: #80
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(El Geek @ May 29 2010, 10:28 PM) Existe los intervalos (así , asá)??? hasta donde yo se es [asi, asa] ó ]así, asá[ ó ]así, asá] ó [así, asá[ D: Sip, depende de la notacion del autor. Al menos, esa es la notación usada en el IMO Compendium. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

« Posterior · Competencias Olimpicas FMAT · Anterior »

14 Páginas:

« < 6 7 8 9 10 > »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 22nd December 2024 - 08:58 AM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.