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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2010, 06:02 PM Publicado: #61
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 15: Encuentre todas las parejas $a,b\in\mathbb {N}$, tales que $lcm(a,b)=108900$ y $a+b=1989$.$ Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el May 17 2010, 06:53 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 18 2010, 12:17 AM Publicado: #62
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(makmat @ May 16 2010, 10:25 AM) $TEX: \textbf{Problema 14:} Sean $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ..., $x_{7}$, números reales tales que:$ $TEX: $ x_{1}+4x_{2}+9x_{3}+16x_{4}+25x_{5}+36x_{6}+49x_{7}=1 $\\ <br /> $ 4x_{1}+9x_{2}+16x_{3}+25x_{4}+36x_{5}+49x_{6}+64x_{7}=12 $\\ <br /> $9x_{1}+16x_{2}+25x_{3}+36x_{4}+49x_{5}+64x_{6}+81x_{7}=123$ \\ <br />$ $TEX: Calcular el valor de:$ $TEX: $16x_{1}+25x_{2}+36x_{3}+49x_{4}+64x_{5}+81x_{6}+100x_{7}$$ Te aconsejo Hamon, copies este mensaje y edites tu mensaje anterior, sólo para que arregles el estilo del problema acorde con la Maratón. El propuesto me recordó mucho a este de aquí: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=22812&hl= -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 18 2010, 02:10 PM Publicado: #63
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ May 17 2010, 08:02 PM) $TEX: Problema 15: Encuentre todas las parejas $a,b\in\mathbb {N}$, tales que $lcm(a,b)=108900$ y $a+b=1989$.$ $TEX: Sea $d=gcd(a,b)$ y escribamos $a=du$, $b=dv$ para $u,v$ coprimos. Tenemos que$ $TEX: $duv=108900=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 11^2$$ $TEX: $d(u+v)=1989=3^2\cdot 13\cdot 17$$ $TEX: Como $gcd(1989, 108900)=3^2$, se sigue que $d\|9$. Así, tenemos 3 casos:$ $TEX: $\underline {Caso\ 1:}$ Supongamos que $d=1$. Entonces $uv=108900$ y $u+v=1989$. La ecuación cuadrática $t^2-1989t+108900=0$ nos devuelve los posibles valores de $u,v$. Si llamamos $\triangle$ al discriminante de esta cuadrática, se tiene que $\triangle=3.520.521$, el cual no es cuadrado perfecto. Entonces acá no hay soluciones.$ $TEX: $\underline {Caso\ 2:}$ Supongamos que $d=3$. La cuadrática $t^2-663+36300=0$ Nos devuelve los pares $(u,v)$ que corresponden al caso. Pero el discriminante acá tampoco es cuadrado perfecto, por lo tanto no hay soluciones.$ $TEX: $\underline {Caso\ 3:}$ Si $d=9$, la cuadrática $t^2-221+12100=0$ nos da los posibles valores de $(u,v)$. Veamos que las soluciones de esta ecuación son $t_1=100$ y $t_2=121$. Luego, $(u,v)=(100,121)$ y $(u,v)=(121,100)$ nos generan los pares $(a,b)=(900,1089)$ y $(1089,900)$, respectivamente.$ $TEX: Por lo tanto, los pares $(a,b)\in \{(900,1089); (1089,900)\}$ $\blacksquare$ son los únicos que cumplen lo pedido.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 18 2010, 04:35 PM Publicado: #64
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(~Fatal_Collapse~ @ May 18 2010, 03:10 PM) $TEX: Sea $d=gcd(a,b)$ y escribamos $a=du$, $b=dv$ para $u,v$ coprimos. Tenemos que$ $TEX: $duv=108900=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 11^2$$ $TEX: $d(u+v)=1989=3^2\cdot 13\cdot 17$$ $TEX: Como $gcd(1989, 108900)=3^2$, se sigue que $d\|9$. Así, tenemos 3 casos:$ $TEX: $\underline {Caso\ 1:}$ Supongamos que $d=1$. Entonces $uv=108900$ y $u+v=1989$. La ecuación cuadrática $t^2-1989t+108900=0$ nos devuelve los posibles valores de $u,v$. Si llamamos $\triangle$ al discriminante de esta cuadrática, se tiene que $\triangle=3.520.521$, el cual no es cuadrado perfecto. Entonces acá no hay soluciones.$ $TEX: $\underline {Caso\ 2:}$ Supongamos que $d=3$. La cuadrática $t^2-663+36300=0$ Nos devuelve los pares $(u,v)$ que corresponden al caso. Pero el discriminante acá tampoco es cuadrado perfecto, por lo tanto no hay soluciones.$ $TEX: $\underline {Caso\ 3:}$ Si $d=9$, la cuadrática $t^2-221+12100=0$ nos da los posibles valores de $(u,v)$. Veamos que las soluciones de esta ecuación son $t_1=100$ y $t_2=121$. Luego, $(u,v)=(100,121)$ y $(u,v)=(121,100)$ nos generan los pares $(a,b)=(900,1089)$ y $(1089,900)$, respectivamente.$ $TEX: Por lo tanto, los pares $(a,b)\in \{(900,1089); (1089,900)\}$ $\blacksquare$ son los únicos que cumplen lo pedido.$ Solucion correcta Saludos -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 18 2010, 05:27 PM Publicado: #65
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema 16:} Determine cuántos números de $2010$ cifras, tales que todos sus dígitos pertenecen al conjunto $\{3,4,5,6\}$ son divisibles por $3$ .$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2010, 11:45 AM Publicado: #66
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Considere el polinomio $P(x)=(x^3+x^4+x^5+x^6)^{2010}$, note que si desarrollamos el polinomio como $\displaystyle \sum a_r x^r$, los $r$ me indican la suma de los dígitos de los números del enunciado además de la cantidad de dígitos $3,4,5,6$ que poseen y el $a_r$ me indica el número de estos números que existen (sin repetición). Luego considere que $\displaystyle \omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}$. Luego de aquí tenemos que $P(\omega^{1})=P(\omega^2)=1$ y $P(\omega^3)=4^{2010}$, para obtenerlos basta usar el hecho de que $\omega^{3m+n}=\omega^{n}$:$ $TEX: Si tomamos $x=\omega \implies P(\omega)=(\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)^{2010}=(1+\omega^1+\omega^2+\omega^3)^{2010}=(\dfrac{\omega^4-1}{\omega-1})^{2010}=(\dfrac{\omega-1}{\omega-1})^{2010}=1$, análogamente $P(\omega^2)=1$ y $P(\omega^3)=(1+1+1+1)^{2010}=4^{2010}$.$ $TEX: Luego note que si reemplazamos $x=\omega^i$ en $P(x)$, tenemos que obtendremos un polinomio de la forma $P(\omega^i)=s_0+s_1\omega^i+s_2\omega^{2i}$ ($$), donde cada $s_j$ equivale a la suma de los coeficientes de cada término tales que el exponente $r$ de la $x$ en el mismo término es $r\equiv \ ji \ (mod. \ 3)$. Luego si reemplazamos $i=\{ 0,1,2\}$ en ($$), y sumando todas las expresiones tenemos:$ $TEX: $4^{2010}+2=3s_{0}+(s_1+s_2)(1+\omega+\omega^2)$, pero como $1+\omega+\omega^2=\dfrac{\omega^3-1}{\omega-1}=0$, se tiene entonces que $s_0=\dfrac{4^{2010}+2}{3}$, y que como vimos, $s_0$ corresponde al número de todos los números que cumplen las condiciones del enunciado y tales que son divisibles por $3$, finalmente, $s_0$ es el número buscado.$ Después de este propuesto, comprendí a cabalidad lo hermoso que es cuando en un problema se juntan dos áreas distintas de la matématica, eso demuestra lo conectado que están todas estas áreas. Hermoso propuesto Ricardo, revisa y si es correcto, propongo el siguiente. PD: El siguiente será uno de Geometría bien bonito. Saludos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2010, 02:23 PM Publicado: #67
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ May 21 2010, 12:45 PM) $TEX: Considere el polinomio $P(x)=(x^3+x^4+x^5+x^6)^{2010}$, note que si desarrollamos el polinomio como $\displaystyle \sum a_r x^r$, los $r$ me indican la suma de los dígitos de los números del enunciado además de la cantidad de dígitos $3,4,5,6$ que poseen y el $a_r$ me indica el número de estos números que existen (sin repetición). Luego considere que $\displaystyle \omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}$. Luego de aquí tenemos que $P(\omega^{1})=P(\omega^2)=1$ y $P(\omega^3)=4^{2010}$, para obtenerlos basta usar el hecho de que $\omega^{3m+n}=\omega^{n}$:$ $TEX: Si tomamos $x=\omega \implies P(\omega)=(\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)^{2010}=(1+\omega^1+\omega^2+\omega^3)^{2010}=(\dfrac{\omega^4-1}{\omega-1})^{2010}=(\dfrac{\omega-1}{\omega-1})^{2010}=1$, análogamente $P(\omega^2)=1$ y $P(\omega^3)=(1+1+1+1)^{2010}=4^{2010}$.$ $TEX: Luego note que si reemplazamos $x=\omega^i$ en $P(x)$, tenemos que obtendremos un polinomio de la forma $P(\omega^i)=s_0+s_1\omega^i+s_2\omega^{2i}$ ($$), donde cada $s_j$ equivale a la suma de los coeficientes de cada término tales que el exponente $r$ de la $x$ en el mismo término es $r\equiv \ i \ (mod. \ 3)$. Luego si reemplazamos $i=\{ 0,1,2\}$ en ($$), y sumando todas las expresiones tenemos:$ $TEX: $4^{2010}+2=3s_{0}+(s_1+s_2)(1+\omega+\omega^2)$, pero como $1+\omega+\omega^2=\dfrac{\omega^3-1}{\omega-1}=0$, se tiene entonces que $s_0=\dfrac{4^{2010}+2}{3}$, y que como vimos, $s_0$ corresponde al número de todos los números que cumplen las condiciones del enunciado y tales que son divisibles por $3$, finalmente, $s_0$ es el número buscado.$ Después de este propuesto, comprendí a cabalidad lo hermoso que es cuando en un problema se juntan dos áreas distintas de la matématica, eso demuestra lo conectado que están todas estas áreas. Esa era la gracia del problema que venga ahora uno de geo ^^ a grandes rasgos solo vi un minimo error de tipeo, pero esta correcta -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2010, 04:23 PM Publicado: #68
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Luego de esa revisión aquí va lo prometido, preparen sus compaces y sus reglas para un lindo problema de construcción inventado por quien les escribe. $TEX: \textbf{Problema 17:} Construya un triángulo rectánguo dado uno de sus catetos de longitud $a$, tal que la mitad de la longitud de la hipotenusa del triángulo sea la media geométrica de sus catetos. Determine el número de soluciones posibles.$ Pueden intentar construirlo con regla y compás, a decir verdad, a algunos les resulte familiar, pero es diferente desde el principio. Que les agrade. Saludos y espero ver bonitas soluciones. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2010, 04:56 PM Publicado: #69
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	No voy a dibujar nada porq no tengo programa para graficar =(. pero ahi va la solucion $TEX: Sea $c$ la hipotenusa, y $b$ el otro cateto, tenemos que $\frac {c}{2}=\sqrt{ab} \Rightarrow c^2=4ab$ Y usando pitagoras y la ecuacion cuadratica: $a^2+b^2=4ab \Rightarrow b=a(2 \pm \sqrt{3})$$ $TEX: Ahora veamos como construir esas 2 soluciones: Supongamos que $AB=a$. Construimos el rombo $ACBD$ tal que $AC=a$. Entonces $CD=\sqrt{3} a$. Para obtener $C$ y $D$, hacemos centro en $B$, radio $a$, y trazamos una circunferencia, luego centro en A, radio a y trazamos otra circunferencia que se intersecta con la anterior en los puntos C y D. Ahora trazamos una recta $l$ cualquiera, centro en cualquier punto de $l$, radio $a$ y obtenemos dos puntos de interseccion con $l$ que son $P$ y $Q$ que cumplen $PQ=2a$ Luego hacemos centro en $Q$, radio $CD$ y trazamos una circunferencia que intersecta $l$ en $R$ y $S$ ($R$ esta entre $P$ y $Q$). Entonces tenemos $PR=a(2+\sqrt{3})$ y $PS=a(2-\sqrt{3})$. Asi se obtenemos los 2 catetos que buscabamos. Ahora solo queda construir los 2 triangulos rectangulos que son solucion (ya tenemos los catetos), pero esta construccion se deja a cargo del lector.$ Aqui un dibujo pa q ayude en algo :S Mensaje modificado por xD13G0x el May 22 2010, 05:13 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2010, 05:00 PM Publicado: #70
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ May 21 2010, 06:56 PM) No voy a dibujar nada porq no tengo programa para graficar =(. pero ahi va la solucion $TEX: Sea $c$ la hipotenusa, y $b$ el otro cateto, tenemos que $\frac {c}{2}=\sqrt{ab} \Rightarrow c^2=4ab$ Y usando pitagoras y la ecuacion cuadratica: $a^2+b^2=4ab \Rightarrow b=a(2 \pm \sqrt{3})$. Sabemos que $\sqrt{3}$ se puede construir con compas y regla, asi que tenemos dos soluciones: $b=a(2+\sqrt{3})$ y $b=a(2-\sqrt{3})$.$ La solución no estará completa hasta que muestres como construir el triángulo, usando regla y compás. Saludos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

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