Primera Maratón Olímpica 2010 - Foro fmat.cl

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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 03:33 PM Publicado: #51
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ May 14 2010, 01:16 PM) $TEX: Tenemos que $f(k)=k^n$, es convexa para todo $n\in\mathbb {N}$ y $k\in\mathbb {R}$. Ahora por la desigualdad de Jensen $\dfrac {f(a)+f(b)}{2}\ge f(\dfrac {a+b}{2})$, entonces $\dfrac {a^n+b^n}{2}\ge (\dfrac {a+b}{2})^n$. Demostrando lo pedido.$ Beautiful solution... the mine one is a little bit different: By the General Mean's Inequalities we have that: $TEX: $n\ge 1 \implies M_{n}\ge M_{1}=AM$$ . So $TEX: $\sqrt[n]{\dfrac{a^n+b^n}{2}}\ge \dfrac{a+b}{2}$$ , and we are done . -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 04:10 PM Publicado: #52
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ May 14 2010, 05:19 PM) $TEX: Problema 12:Encuentre todas las parejas $a,b\in\mathbb {N}$ tales que $$a+b+2009=ab$$$ $TEX: Tenemos que la ecuación equivale a $a+b-ab+1-1=-2010 \implies (a-1)(b-1)=2010$, luego podemos ver que $a,b$ son mayores que uno, basta una inspección en los divisores de $2010$, y tenemos las soluciones$ PD: Por ahora no tengo tiempo para escribir los pares de soluciones, pero validen, por favor que sólo este detalle falta en la sol. Saludos -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 04:41 PM Publicado: #53
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ May 14 2010, 05:10 PM) $TEX: Tenemos que la ecuación equivale a $a+b-ab+1-1=-2010 \implies (a-1)(b-1)=2010$, luego podemos ver que $a,b$ son mayores que uno, basta una inspección en los divisores de $2010$, y tenemos las soluciones$ PD: Por ahora no tengo tiempo para escribir los pares de soluciones, pero validen, por favor que sólo este detalle falta en la sol. Saludos Solucion correcta, pero seria bueno que colocaras las soluciones, parte de la dificultad del problema es saberse los divisores de 2010 , Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el May 14 2010, 07:48 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2010, 05:41 PM Publicado: #54
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Continuaremos con la Maratón (falta colocar cuales son las soluciones (a,b) en el anterior problema, pero ya está resuelto, actualizaré sí. Vamos con uno de "Geometría". $TEX: \textbf{Problema 13:} Pruebe que si $P$ es un pentágono, existe un par de ángulos interiores consecutivos de $P$ cuya suma de medidas es al menos $216°$.$ PD: Sin hint, porque no es muy complicado. See ya! -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2010, 08:11 PM Publicado: #55
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	Bueno...el Hint estaba en la palabra "Geometria" xD Aqui va m intento de solucion, a ver si ta bien argumentado y redactado: (perdona la ausencia de tildes, tngo mala esa tecla). $TEX: <br /> Sean$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon$ los angulos interiores del pentagono. \\ <br /> Sean \\ <br /> $S_{1}=\alpha +\beta$ \\ <br /> $S_{2}=\beta +\gamma$ \\ <br /> $S_{3}=\gamma +\delta $ \\ <br /> $S_{4}=\delta +\varepsilon$ \\ <br /> $S_{5}=\varepsilon +\alpha$ \\ <br />$ Sabemos que en un pentagono la suma de sus angulos interiores es 540° Luego sumaoms todas estas sumas anteriormente definidas. $TEX: <br />$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}=2(\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon )=2540{}^\circ =1080{}^\circ$$ Ahora, asumamos que no existiesen 2 angulos consecutivos cuya suma fuera mayor o igual a 216° Tenemos: $TEX: $S_{i}<216{}^\circ$, para i=1,2,3,4,5$ Luego, sumando estas 5 desigualdades, llegamos a que $TEX: $S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}<5216{}^\circ =1080{}^\circ$$ Lo que se contradice con la igualdad que se vio mas arriba. Luego, alguna de estas sumas de parejas de angulos consecutivos debera ser a lo menos 216°, demostrando lo pedido. Saludos! (Me salio medio larga la soln. parece xd) -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2010, 08:45 PM Publicado: #56
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Hamon @ May 15 2010, 10:11 PM) Bueno...el Hint estaba en la palabra "Geometria" xD Aqui va m intento de solucion, a ver si ta bien argumentado y redactado: (perdona la ausencia de tildes, tngo mala esa tecla). $TEX: <br /> Sean$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon$ los angulos interiores del pentagono. \\ <br /> Sean \\ <br /> $S_{1}=\alpha +\beta$ \\ <br /> $S_{2}=\beta +\gamma$ \\ <br /> $S_{3}=\gamma +\delta $ \\ <br /> $S_{4}=\delta +\varepsilon$ \\ <br /> $S_{5}=\varepsilon +\alpha$ \\ <br />$ Sabemos que en un pentagono la suma de sus angulos interiores es 540° Luego sumaoms todas estas sumas anteriormente definidas. $TEX: <br />$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}=2(\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon )=2540{}^\circ =1080{}^\circ$$ Ahora, asumamos que no existiesen 2 angulos consecutivos cuya suma fuera mayor o igual a 216° Tenemos: $TEX: $S_{i}<216{}^\circ$, para i=1,2,3,4,5$ Luego, sumando estas 5 desigualdades, llegamos a que $TEX: $S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}<5216{}^\circ =1080{}^\circ$$ Lo que se contradice con la igualdad que se vio mas arriba. Luego, alguna de estas sumas de parejas de angulos consecutivos debera ser a lo menos 216°, demostrando lo pedido. Saludos! (Me salio medio larga la soln. parece xd) This solution is correct ! Let post the next one ! -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2010, 09:12 PM Publicado: #57
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	Wuajajja...Fmat's become international now? I think you have been reading Math Books in English xD Bueno aqui va: $TEX: \textbf{Problema 14:} Sean $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ..., $x_{7}$, números reales tales que:$ $TEX: $ x_{1}+4x_{2}+9x_{3}+16x_{4}+25x_{5}+36x_{6}+49x_{7}=1 $\\ <br /> $ 4x_{1}+9x_{2}+16x_{3}+25x_{4}+36x_{5}+49x_{6}+64x_{7}=12 $\\ <br /> $9x_{1}+16x_{2}+25x_{3}+36x_{4}+49x_{5}+64x_{6}+81x_{7}=123$ \\ <br />$ $TEX: Calcular el valor de:$ $TEX: $16x_{1}+25x_{2}+36x_{3}+49x_{4}+64x_{5}+81x_{6}+100x_{7}$$ Saludos! Mensaje modificado por Hamon el May 16 2010, 11:55 AM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 16 2010, 11:25 AM Publicado: #58
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema 14:} Sean $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ..., $x_{7}$, números reales tales que:$ $TEX: $ x_{1}+4x_{2}+9x_{3}+16x_{4}+25x_{5}+36x_{6}+49x_{7}=1 $\\ <br /> $ 4x_{1}+9x_{2}+16x_{3}+25x_{4}+36x_{5}+49x_{6}+64x_{7}=12 $\\ <br /> $9x_{1}+16x_{2}+25x_{3}+36x_{4}+49x_{5}+64x_{6}+81x_{7}=123$ \\ <br />$ $TEX: Calcular el valor de:$ $TEX: $16x_{1}+25x_{2}+36x_{3}+49x_{4}+64x_{5}+81x_{6}+100x_{7}$$ Te aconsejo Hamon, copies este mensaje y edites tu mensaje anterior, sólo para que arregles el estilo del problema acorde con la Maratón. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 16 2010, 08:02 PM Publicado: #59
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Hamon @ May 15 2010, 10:12 PM) Wuajajja...Fmat's become international now? I think you have been reading Math Books in English xD Bueno aqui va: $TEX: \textbf{Problema 14:} Sean $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ..., $x_{7}$, números reales tales que:$ $TEX: $ x_{1}+4x_{2}+9x_{3}+16x_{4}+25x_{5}+36x_{6}+49x_{7}=1 $(i)\\ <br /> $ 4x_{1}+9x_{2}+16x_{3}+25x_{4}+36x_{5}+49x_{6}+64x_{7}=12 $(ii)\\ <br /> $9x_{1}+16x_{2}+25x_{3}+36x_{4}+49x_{5}+64x_{6}+81x_{7}=123$(iii) \\ <br />$ $TEX: Calcular el valor de:$ $TEX: $16x_{1}+25x_{2}+36x_{3}+49x_{4}+64x_{5}+81x_{6}+100x_{7}$$ Saludos! $TEX: Notemos $k$, lo que se nos pide calcular. Restando (ii)-(i), obtenemos $3x_1+5x_2+7x_3+9x_4+11x_4+13x_5+15x_6+17x_7=11$, y por (iii)-(ii) obtenemos $5x_1+7x_2+9x_3+11x_4+13x_5+15x_6+17x_7=111$, ahora restando los resultados obtenidos tenemos $2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7)=100$,$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=50$. Tambien tenemos que $k-123=7x_1+9x_2+11x_3+13x_4+15x_5+17x_6+19x_7= 5x_1+7x_2+9x_3+11x_4+13x_5+15x_6+17x_7+2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7)=111+100=211$, entonces $k-123=211$ y por lo tanto $k=334. $$ PD: Edite el texto citado para ahorrar tiempo Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el May 17 2010, 04:50 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2010, 12:40 PM Publicado: #60
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	ta bien lo de editar en lo citado Me gusto tu solucion, por el hecho de ser tan distinta a la mia en la manera como sacaste el valor de la expresion pedida. Saludos Ahora si! Mensaje modificado por Hamon el May 17 2010, 06:15 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

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