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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2010, 09:59 PM Publicado: #41
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ May 12 2010, 11:57 PM) Basta notar un pequeñito pero útil detalle: $TEX: Por la igualdad del enunciado, podemos reemplazar $x=y$ y $y=\dfrac{x}{y}$, con $y\not =0$, luego se tiene que $$f(y\dfrac{x}{y})=yf(\dfrac{x}{y})+\dfrac{x}{y}f(y)$$. Luego de aquí se tiene $$\dfrac{yf(x)-xf(y)}{y}=yf(\dfrac{x}{y})$$. Dividiendo por $y$ se termina la prueba. $\blacksquare$$ Saludos. Propondré el que sigue si se aprueba mi sol. Solución correcta. Ya había dicho que este problema era sencillo. Proponga el siguiente makmat. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2010, 10:24 PM Publicado: #42
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Otro lindo de combinatoria... ojo, que es un poquito más complejo en el sentido de que es algo ingenioso. $TEX: \textbf {Problema 10:} Pruebe que de un conjunto de diez números distintos de dos dígitos (entre $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$), es posible seleccionar dos subconjuntos cuyos elementos tienen igual suma.$ Hint: Principio de los Casilleros o del Palomar (Pigeon's Hole Principle). Saludos a todos y yo sé que no sólo Ricardo, Diego y yo podemos resolver los problemas de esta Maratón, sé que existen otros Fmatianos muy capaces así que no se asusten o desalienten, queda Maratón para rato. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Assassin.... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2010, 01:49 PM Publicado: #43
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 20-October 07 Miembro Nº: 11.559 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent\textbf{Solución}: Notemos que la suma de los 10 elementos puede se a lo más $99+98+\cdots +91+89=944$, es decir tenemos menos de 944 sumas distintas (ya que el cero está presente en varios números menores que 89 y se consideran números de dos dígitos). Ahora bien, la cantidad de subconjuntos que podemos obtener de un conjunto de 10 elementos es $2^{10}$, pero no consideramos el conjunto vacío así que nos quedan $1023$ subconjuntos. Entonces por el principio del palomar, como tenemos más subconjuntos que sumas posibles, hay al menos dos subconjuntos cuyos elementos tienen igual suma.$

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2010, 06:48 PM Publicado: #44
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Assassin.... @ May 13 2010, 03:49 PM) $TEX: \noindent\textbf{Solución}: Notemos que la suma de los 10 elementos puede se a lo más $99+98+\cdots +91+89=944$, es decir tenemos menos de 944 sumas distintas (ya que el cero está presente en varios números menores que 89 y se consideran números de dos dígitos). Ahora bien, la cantidad de subconjuntos que podemos obtener de un conjunto de 10 elementos es $2^{10}$, pero no consideramos el conjunto vacío así que nos quedan $1023$ subconjuntos. Entonces por el principio del palomar, como tenemos más subconjuntos que sumas posibles, hay al menos dos subconjuntos cuyos elementos tienen igual suma.$ Muy bien explicada y correcta... Proponga el problema siguiente Assassin.... -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Assassin.... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2010, 08:31 PM Publicado: #45
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 20-October 07 Miembro Nº: 11.559 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema 11:} Sean $a,b\in \mathbb{R}^+$. Pruebe que: $$\forall n \in \mathbb{N},\ \ \dfrac{a^n+b^n}{2}\geq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n$$$

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2010, 10:41 PM Publicado: #46
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(makmat @ May 12 2010, 09:24 PM) Otro lindo de combinatoria... ojo, que es un poquito más complejo en el sentido de que es algo ingenioso. $TEX: \textbf {Problema 10:} Pruebe que de un conjunto de diez números distintos de dos dígitos (entre $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$), es posible seleccionar dos subconjuntos cuyos elementos tienen igual suma.$ Y de hecho puede pedirse también que los subconjuntos sean disjuntos. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 11:16 AM Publicado: #47
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Assassin.... @ May 13 2010, 09:31 PM) $TEX: \textbf{Problema 11:} Sean $a,b\in \mathbb{R}^+$. Pruebe que: $$\forall n \in \mathbb{N},\ \ \dfrac{a^n+b^n}{2}\geq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n$$$ $TEX: Tenemos que $f(k)=k^n$, es convexa para todo $n\in\mathbb {N}$ y $k\in\mathbb {R}$. Ahora por la desigualdad de Jensen $\dfrac {f(a)+f(b)}{2}\ge f(\dfrac {a+b}{2})$, entonces $\dfrac {a^n+b^n}{2}\ge (\dfrac {a+b}{2})^n$. Demostrando lo pedido.$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 12:27 PM Publicado: #48
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ May 13 2010, 11:41 PM) Y de hecho puede pedirse también que los subconjuntos sean disjuntos. de hecho, asi es el enunciado de la pregunta donde la vi XD -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Assassin.... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 03:08 PM Publicado: #49
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 20-October 07 Miembro Nº: 11.559 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ May 14 2010, 12:16 PM) $TEX: Tenemos que $f(k)=k^n$, es convexa para todo $n\in\mathbb {N}$ y $k\in\mathbb {R}$. Ahora por la desigualdad de Jensen $\dfrac {f(a)+f(b)}{2}\ge f(\dfrac {a+b}{2})$, entonces $\dfrac {a^n+b^n}{2}\ge (\dfrac {a+b}{2})^n$. Demostrando lo pedido.$ Solución correcta e ingeniosa, propone el siguiente Pedantic...

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2010, 03:19 PM Publicado: #50
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 12:Encuentre todas las parejas $a,b\in\mathbb {N}$ tales que $$a+b+2009=ab$$$ Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el May 14 2010, 03:25 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

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