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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2010, 01:38 PM Publicado: #31
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ May 8 2010, 03:01 PM) Si me habia acordado al leerlo que esra ese problema de esa "maldita" prueba xD, bueno creo que lo saqué ahí les va: $TEX: Rotemos el $\triangle {ABC}$ (note que por las propiedades del enunciado es un $30°-60°-90°$) en 60° con centro de rotación en $B$, obteniéndose el triángulo $\triangle {A'BC'}$ siendo $A'$ y $C'$ las posiciones finales de $A$ y $C$ luego de la rotación, sea $P'$ la imgagen de $P$ en el $\triangle {A'BC'}$ al rotar el $P$ con centro en $B$, luego se puede notar que $C$ es el punto medio del $\overline{A'B}$ y si trazamos el punto medio del $\overline{BC'}$ (llámelo $M$), luego podemos notar que el $\triangle{MBC}$ es un homotético con respecto al $\triangle {A'BC'}$ por lo tanto semejante al $\triangle {ABC}$ en una razón $1:2$, luego sea $Q$ el correspondiente a $P'$ del $\triangle{MBC}$, luego como son homotéticos se tiene que $Q$ yace sobre $\overline{BP'}$, luego $\overline{BQ}=\dfrac{b}{2}$, $\overline{PC}=c$, $\overline{QC}=\dfrac{a}{2}$ y $\overline{PB}=b$, nos basta con hallar $\overline{PQ}$, pero como $\overline{BQ}=\dfrac{b}{2}$, $\overline{PB}=b$ y $\angle {PBP'}=60°$ (por la rotaciión en $B$), se tiene que el $\triangle {BPQ}$ es $30°-60°-90° \implies \overline{PQ}=\sqrt {3}\dfrac{b}{2}$, luego el triángulo $PCQ$ cumple lo pedido. $\square$$ Revisen y ya adjunto dibujo xd Con la explicación que diste no es necesario que pongas un dibujo, es lo suficientemente claro como para que el lector haga un dibujo. Mejor dicho, lo explicaste muy bien. Congrats. Proponga el suyo Gerardo ^^ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2010, 04:20 PM Publicado: #32
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Tras esa revisión de Ricardo, aquí el siguiente... ánimo que un poquito de combinatoria no le hace daño a nadie, y este problema es bastante sencillito . $TEX: \textbf {Problema 7:} Considere un triángulo equilátero cuyo lado mide $n$ que es dividido en triángulos equiláteros de lado $1$ como se muestra en la figura. Sea $f(n)$ el número de caminos desde el triángulo en la primera fila hasta el triángulo central de la última fila, tal que los triángulo adyacentes en nuestro camino comparten un lado y el camino nunca sube de nuevo a la fila anterior o revisita un triángulo. Un ejemplo de camino es ilustrado abajo para $n=5$. Determine el valor de $f(2010)$.$ n5.jpg ( 15.14k ) Número de descargas: 1 Saludos. ! -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2010, 08:40 PM Publicado: #33
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ May 8 2010, 06:20 PM) Tras esa revisión de Ricardo, aquí el siguiente... ánimo que un poquito de combinatoria no le hace daño a nadie, y este problema es bastante sencillito . $TEX: \textbf {Problema 7:} Considere un triángulo equilátero cuyo lado mide $n$ que es dividido en triángulos equiláteros de lado $1$ como se muestra en la figura. Sea $f(n)$ el número de caminos desde el triángulo en la primera fila hasta el triángulo central de la última fila, tal que los triángulo adyacentes en nuestro camino comparten un lado y el camino nunca sube de nuevo a la fila anterior o revisita un triángulo. Un ejemplo de camino es ilustrado abajo para $n=5$. Determine el valor de $f(2010)$.$ n5.jpg ( 15.14k ) Número de descargas: 1 Saludos. ! Mi objetivo no era retrasar la Maratón, era que se entretuvieran haciendo uno bonito, bueno ahí les va una ayudita HINT: Trate con $n$ más pequeño, y puede hallar generalidades Le prometo que si les doy un Hint más, ya estaría resuelto el problema, por lo que este es suficiente por ahora, es sencillito pero bonito, no necesitan conocimientos más allá de lo simple en Combinatoria. Saludos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2010, 09:04 PM Publicado: #34
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	he aqui mi solucion: $TEX: Generalizamos con un triangulo de lado n. Considere los triangulitos que estan en esta posicion $\bigtriangledown$ (tomando en cuenta q vemos la figura como esta en el dibujo de makkmat). Tenemos 1 $\bigtriangledown$ en la segunda fila, 2 $\bigtriangledown$ en la segunda fila, y asi sucesivamente hasta (n-1) $\bigtriangledown$ en la n-esima fila. Cada camino esta determinado por la manera de escojer (n-1) $\bigtriangledown$, uno en cada fila (menos en la primera). Reciprocamente cada manera de escojer (n-1) $\bigtriangledown$ (menos en la primera), uno en cada fila, determina un camino. Asi la respuesta es (n-1)!.$ $TEX: La respuesta del caso particular pedido es f(2010)=2009!$ Mensaje modificado por xD13G0x el May 8 2010, 11:28 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2010, 09:49 PM Publicado: #35
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ May 8 2010, 11:04 PM) he aqui mi solucion: $TEX: Generalizamos con un triangulo de lado n. Considere los triangulitos que estan en esta posicion $\bigtriangledown$ (tomando en cuenta q vemos la figura como esta en el dibujo de makkmat). Tenemos 1 $\bigtriangledown$ en la segunda fila, 2 $\bigtriangledown$ en la segunda fila, y asi sucesivamente hasta (n-1) $\bigtriangledown$ en la n-esima fila. Cada camino esta determinado por la manera de escojer (n-1) $\bigtriangledown$, uno en cada fila (menos en la primera). Reciprocamente cada manera de escojer (n-1) $\bigtriangledown$ (menos en la primera), uno en cada fila, determina un camino. Asi la respuesta es (n-1)!.$ $TEX: La respuesta del caso particular pedido es f(2010)=2009!$ Solución correcta, ánimo FMATianos ustedes pueden con estos problemas ! Saludos Diego. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 9 2010, 09:31 AM Publicado: #36
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Uno medio facil de teoria de numeros $TEX: \textbf {Problema 8:} Sean $a,b$ enteros tales que:$ $TEX: $mcd(a,b)+mcm(a,b)=a+b$$ $TEX: Pruebe que $a\mid b$ o que $b\mid a$$ mcd: maximo comun divisor, mcm: minimo comun multiplo -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 9 2010, 11:06 AM Publicado: #37
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ May 9 2010, 11:31 AM) $TEX: \textbf {Problema 8:} Sean $a,b$ enteros tales que:$ $TEX: $mcd(a,b)+mcm(a,b)=a+b$$ $TEX: Pruebe que $a\mid b$ o que $b\mid a$$ $TEX: Sea $d=mcd (a,b)$, escribamos $a=du$, $b=dv$ para $u,v$ enteros coprimos. Probaremos que $mcm(a,b)=duv$, en efecto, sean $a=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$, $b=\prod_{i=1}^k p_i^{\beta_i}$, $d=\prod_{i=1}^k p_i^{\gamma_i}$ donde $\gamma_i=min \{\alpha_i, \beta_i\}$ para cada $i=1,2,...,k$. Por definición $mcm(a,b)=\prod_{i=1}^k p_i^{\delta_i}$ donde $\delta_i=\max \{\alpha_i, \beta_i\}$. Pero notemos que $$\delta_i=\alpha_i+\beta_i- \gamma_i=(\alpha_i-\gamma_i)+(\beta_i-\gamma_i)+\gamma_i$$<br /><br />Y luego: $$mcm(a,b)=\prod_{i=1}^k p_i^{\delta_i}=\prod_{i=1}^k p_i^{\gamma_i}\cdot \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-\gamma_i} \cdot \prod_{i=1}^k p_i^{\beta_i-\gamma_i}=duv$$<br /><br />Con estas consideraciones, tenemos que la ecuación equivale a $$d+duv=du+dv\iff d(u-1)(v-1)=0$$<br /><br />Como $d\not =0$, se deduce que $u=1$ ó $v=1$. Esto implica que uno de los enteros $a,b$ es igual a $d$ y por lo tanto ese entero divide al otro. $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 9 2010, 12:59 PM Publicado: #38
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Solucion correcta, dispara uno de algebra ahora. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2010, 08:33 PM Publicado: #39
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Dado que no se "ha llegado a alguna respuesta por parte de los invitados participantes, decidí cambiar mi problema, por otro. $TEX: \textbf {Problema 9:} Sea $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ tal que para todo $(x,y)\in \mathbb {R}^2$ se cumple que: $$f(xy)=xf(y)+yf(x)$$<br /><br />Demuestre que para todo $(x,y)x\in \mathbb {R}^2$, $y\not =0$, se cumple que: $$f (\frac{x}{y})=\dfrac{yf(x)-xf(y)}{y^2}$$<br />$ ojo, no es necesario hallar la función explícitamente. Pero no se necesita saber nada de derivadas a pesar de que se parece un poquiito. Y reitero, experimentados y quienes abstenerse porfa Este problema es sencillo (a pesar que a primera vista se ve algo complicado), no se dará hint ya que solo es necesario una pequeña idea. Saludos. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2010, 09:57 PM Publicado: #40
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(~Fatal_Collapse~ @ May 12 2010, 10:33 PM) Dado que no se "ha llegado a alguna respuesta por parte de los invitados participantes, decidí cambiar mi problema, por otro. $TEX: \textbf {Problema 9:} Sea $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ tal que para todo $(x,y)\in \mathbb {R}^2$ se cumple que: $$f(xy)=xf(y)+yf(x)$$<br /><br />Demuestre que para todo $(x,y)x\in \mathbb {R}^2$, $y\not =0$, se cumple que: $$f (\frac{x}{y})=\dfrac{yf(x)-xf(y)}{y^2}$$<br />$ ojo, no es necesario hallar la función explícitamente. Pero no se necesita saber nada de derivadas a pesar de que se parece un poquiito. Y reitero, experimentados y quienes abstenerse porfa Este problema es sencillo (a pesar que a primera vista se ve algo complicado), no se dará hint ya que solo es necesario una pequeña idea. Saludos. Basta notar un pequeñito pero útil detalle: $TEX: Por la igualdad del enunciado, podemos reemplazar $x=y$ y $y=\dfrac{x}{y}$, con $y\not =0$, luego se tiene que $$f(y\dfrac{x}{y})=yf(\dfrac{x}{y})+\dfrac{x}{y}f(y).$$ Luego de aquí se tiene $$\dfrac{yf(x)-xf(y)}{y}=yf(\dfrac{x}{y}).$$ Dividiendo por $y$ se termina la prueba. $\blacksquare$$ Saludos. Propondré el que sigue si se aprueba mi sol. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

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