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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2010, 07:09 PM Publicado: #21
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución correcta y te quedo bonita felicidades, sin embargo, no es la más simple, están invitados todos los "NO-amantes" de la inducción (jajaja cada uno con sus gustos ), usa manejo de fracciones simples y de verdad que es muy hermosa y directa. Le toca a Hamon proponer el siguiente. PD: Para 69___ creo que el problema 3 presentaba una buena dificultad, y que saliera con un principio tan "simple" (pero muy útil y en una forma no común) le da la hermosura, si quieres puedes colocar una solución con "telescópicas", pero es gusto personal, es obviamente muy respetable, además no creo que haya sido "engorroso" el uso de inducción, quizás un poco latero (engorroso sonó a solución muy bruta ), pero no le quita su fuerza para matar problemas bastante más densos. Saludos a todos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2010, 07:30 PM Publicado: #22
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	Bueno, aqui va mi problema...ojala no sea muy basico pero debia ser uno que hubiera resueltopo xdd $TEX: \textbf {Problema 5:} En un triangulo rectangulo ABC se cumple que $AB=AC$.$ $TEX: Considere los puntos M y P sobre AB tales que $AM=BP$. \\ <br /> Sea D el punto medio de BC,y sea ademas R sobre CM y Q sobre BC \\ <br /> tales que A, R, Q son colineales y $AQ\bot CM$. \\ <br /> Pruebe que:$\sphericalangle AQC=\sphericalangle PQB$ \\$ PD: Perdonen mi notacion de trazos, no se ahcerlos en MathType aun Saludos! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2010, 09:25 PM Publicado: #23
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Hamon @ May 6 2010, 09:30 PM) $TEX: \textbf {Problema 5:} En un triangulo rectangulo ABC se cumple que $AB=AC$.$ $TEX: Considere los puntos M y P sobre AB tales que $AM=BP$. \\ <br /> Sea D el punto medio de BC,y sea ademas R sobre CM y Q sobre BC \\ <br /> tales que A, R, Q son colineales y $AQ\bot CM$. \\ <br /> Pruebe que:$\sphericalangle AQC=\sphericalangle PQB$ \\$ $TEX: Asumamos w.l.o.g que $AM<AP$. Considere $N\in \overline {AB}: \overline {QN}\perp\overline {BC}$, y por comodidad sea $\measuredangle ACM=\delta$. Note que como $ACQN$ es cíclico se cumple que $\measuredangle NCQ=\measuredangle NAQ=\delta$. Luego $ \overline {BQ}=\overline {QN}=\overline {CQ}\cdot tan (\delta)$ (donde la primera igualdad ocurre porque el $\triangle BQN$ es isósceles rectángulo). Por otra parte, $\overline {BP}= \overline {AM}=\overline {AC}\cdot tan (\delta)$, y con esto se deduce que $$\dfrac{BQ}{CQ}=\dfrac{BP}{CA}$$<br /><br />Recordando que $\measuredangle B=\measuredangle C$, se obtiene que $\triangle PBQ\sim \triangle ACQ$, de donde se obtiene lo pedido. El caso $AM>AP$ es análogo, pero se intercambian los roles de $M,P$. $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2010, 07:48 PM Publicado: #24
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(~Fatal_Collapse~ @ May 6 2010, 10:25 PM) $TEX: Asumamos w.l.o.g que $AM<AP$. Considere $N\in \overline {AC}: \overline {QN}\perp\overline {BC}$, y por comodidad sea $\measuredangle ACM=\delta$. Note que como $ACQN$ es cíclico se cumple que $\measuredangle NCQ=\measuredangle NAQ=\delta$. Luego $ \overline {BQ}=\overline {QN}=\overline {CQ}\cdot tan (\delta)$ (donde la primera igualdad ocurre porque el $\triangle BQN$ es isósceles rectángulo). Por otra parte, $\overline {BP}= \overline {AM}=\overline {AC}\cdot tan (\delta)$, y con esto se deduce que $$\dfrac{BQ}{CQ}=\dfrac{BP}{CA}$$<br /><br />Recordando que $\measuredangle B=\measuredangle C$, se obtiene que $\triangle PBQ\sim \triangle ACQ$, de donde se obtiene lo pedido. El caso $AM>AP$ es análogo, pero se intercambian los roles de $M,P$. $\blacksquare$$ Creo que entiendo la idea...y es bastante astuta, y un poco mas breve que la mia en la que solo use congruenciasde tiaugulos y cosas asi...pero tengo una duda..pq ACQN es ciclico? segun yo, segun tu notacion, A,C, y N son coolineales pero pones que forman un cuadrilatero ciclico PD: Agradezco a Diego, ya que me notifico que di un punto D extra, que no servia en el oprblema Esto paso , pq originalmente el problema tenia 2 partes, epro la segunda, que involucraba al putno D, era mas facil y directa que esta, por eso la preferi Saludos Mensaje modificado por Hamon el May 7 2010, 07:54 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2010, 07:53 PM Publicado: #25
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Hamon @ May 7 2010, 09:48 PM) Creo que entiendo la idea...y es bastante astuta, y un poco mas breve que la mia en la que solo use congruenciasde tiaugulos y cosas asi...pero tengo una duda..pq ACQN es ciclico? segun yo, segun tu notacion, A,C, y N son coolineales pero pones que forman un cuadrilatero ciclico Saludos Error de tipeo, el punto debía estar en AB (eso me pasa por escribir a la rápida, no quería que nadie me la ganara) -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2010, 07:58 PM Publicado: #26
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	queda correcto entonces, intesante solucion no se me ocurrio crear un cuadrilatero ciclico loco XD Saludos Fatal -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2010, 08:10 PM Publicado: #27
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \textbf {Problema 6:} Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ tal que $\overline {AB}=2\cdot \overline {BC}$. Considere un punto $P$ al interior del $\triangle ABC$ y llamemos $a=\overline {PA}$, $b=\overline {PB}$ y $c=\overline {PC}$. Demuestre que existe un triángulo cuyos lados miden $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}\cdot \sqrt{3}$ y $c$.$ Quizás a alguien le parezca conocido el problema -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2010, 12:04 PM Publicado: #28
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(~Fatal_Collapse~ @ May 7 2010, 10:10 PM) $TEX: \textbf {Problema 6:} Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ tal que $\overline {AB}=2\cdot \overline {BC}$. Considere un punto $P$ al interior del $\triangle ABC$ y llamemos $a=\overline {PA}$, $b=\overline {PB}$ y $c=\overline {PC}$. Demuestre que existe un triángulo cuyos lados miden $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}\cdot \sqrt{3}$ y $c$.$ Quizás a alguien le parezca conocido el problema Animo cabros!! este problema no es tan complicado. Como sugerencia, revise el problema 2, final nacional 2008 nivel mayor (sector olimpiadas--->olimpiada nacional), y relacionelo con este. La clave está en aplicar una roto-homotecia adecuada -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2010, 12:32 PM Publicado: #29
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(~Fatal_Collapse~ @ May 8 2010, 01:04 PM) Animo cabros!! este problema no es tan complicado. Como sugerencia, revise el problema 2, final nacional 2008 nivel mayor (sector olimpiadas--->olimpiada nacional), y relacionelo con este. La clave está en aplicar una roto-homotecia adecuada +1 Animoo! yo toi q lo saco, aunque igual no puedo postearlo xD bonita modificacion -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2010, 01:01 PM Publicado: #30
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si me habia acordado al leerlo que esra ese problema de esa "maldita" prueba xD, bueno creo que lo saqué ahí les va: $TEX: Rotemos el $\triangle {ABC}$ (note que por las propiedades del enunciado es un $30°-60°-90°$) en 60° con centro de rotación en $B$, obteniéndose el triángulo $\triangle {A'BC'}$ siendo $A'$ y $C'$ las posiciones finales de $A$ y $C$ luego de la rotación, sea $P'$ la imgagen de $P$ en el $\triangle {A'BC'}$ al rotar el $P$ con centro en $B$, luego se puede notar que $C$ es el punto medio del $\overline{A'B}$ y si trazamos el punto medio del $\overline{BC'}$ (llámelo $M$), luego podemos notar que el $\triangle{MBC}$ es un homotético con respecto al $\triangle {A'BC'}$ por lo tanto semejante al $\triangle {ABC}$ en una razón $1:2$, luego sea $Q$ el correspondiente a $P'$ del $\triangle{MBC}$, luego como son homotéticos se tiene que $Q$ yace sobre $\overline{BP'}$, luego $\overline{BQ}=\dfrac{b}{2}$, $\overline{PC}=c$, $\overline{QC}=\dfrac{a}{2}$ y $\overline{PB}=b$, nos basta con hallar $\overline{PQ}$, pero como $\overline{BQ}=\dfrac{b}{2}$, $\overline{PB}=b$ y $\angle {PBP'}=60°$ (por la rotaciión en $B$), se tiene que el $\triangle {BPQ}$ es $30°-60°-90° \implies \overline{PQ}=\sqrt {3}\dfrac{b}{2}$, luego el triángulo $PCQ$ cumple lo pedido. $\square$$ PD: No puedo subir el dibujo D: -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

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