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> Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario
xD13G0x
mensaje Jul 5 2010, 02:19 PM
Publicado: #131


Dios Matemático Supremo
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Mensaje modificado por xD13G0x el Jul 5 2010, 02:21 PM


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Emi_C
mensaje Jul 10 2010, 05:51 PM
Publicado: #132


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Es faciil.. pienselo un poquito nomas... no echen abajo la maraton sad.gif


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TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$
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danielxbeats
mensaje Mar 22 2012, 08:14 PM
Publicado: #133


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CITA(Assassin.... @ Jun 5 2010, 02:29 PM) *
TEX: \textbf{Problema 23:} Sean $a,\ b,\ c >0$ con $a+b+c=1$. Pruebe que: <br />$$\dfrac{a}{(b+c)^2}+\dfrac{b}{(c+a)^2}+\dfrac{c}{(a+b)^2}\geq \dfrac{9}{4}$$

Bueno vi esto y queria compartir una 3era solucion (:
Multiplicando por 1 y aplicando la desigualdad de cauchy
TEX: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{\left( {b + c} \right)^2 }}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{\left( {\frac{a}<br />{{b + c}}} \right)^2 }}{a}} \geqslant \frac{{\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{b + c}}} } \right)^2 }}<br />{{a + b + c}} = \frac{9}{4}$$
ahora por las desigualdades de las medias (es la desigualdad de nesbitt) TEX: $$MA \geqslant MH$$

TEX: $$\frac{{a + b + b + c + c + a}}{3} \geqslant \frac{3}{{\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}<br />{{c + a}}}}$$

TEX: $$\left( {a + b + b + c + c + a} \right)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) \geqslant \frac{9}{2}$$
de aqui multplicar aparecera un 3 que restado con el 9/2 generara un 3/2 y listo.
saludos


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Pasión por los números
Estudiante 4to año Ingeniería Civil en Obras Civiles

TEX: $$<br />\int_0^1 {\int_0^1 {\int_0^1 {...\int_0^1 {\frac{{dx_1 dx_2 dx_3 ...dx_n }}<br />{{1 - x_1 x_2 x_3 ...x_n }} = \zeta } } } } \left( n \right)<br />$$

TEX: $$\int_{0}^{1}x^{x}dx=-\sum_{n=1}^{+\infty }\left (-n \right )^{-n}$$
TEX: $$\int_{0}^{1}x^{-x}dx=\sum_{n=1}^{+\infty }n^{-n}$$
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