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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2010, 08:44 PM Publicado: #121
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La respuesta esta correcta, trata de ser mas ordenado, derrepente es bueno saltarse unas lineas aveces me perdia xd. Postea un problema Emi_C. P.D.: aca está la solución que esperaba: $TEX: $\ m^2+n^2\|m^3+n^3-4 () $$ $TEX: Por propiedad refleja,$ $TEX: $\ m^2+n^2\|m^2+n^2$$ $TEX: $\ m^2+n^2\|(m+n)(m^2+m^2) , m^2+n^2\|m^3+n^3+mn(m+n) $$ $TEX: Restando con (),$ $TEX: $\ m^2+n^2\|mn(m+n)+4 \implies m^2+n^2\|3mn(m+n)+12$ , sumando con ()$ $TEX: $\ m^2+n^2\|m^3+n^3+3mn(m+n)+8 \implies m^2+n^2\|(m+n)^3+2^3 $$ $TEX: $\ m^2+n^2\|(m+n+2)(m^2+2mn+n^2-2(m+n)+2^2)$$ $TEX: Caso 1: $\ m^2+n^2\|m+n+2$ , como m+n+2 es distinto de cero puedo usar la desigualdad;$ $TEX: $\ m^2+n^2 \le \ m+n+2 $ pero para cualquier q natural mayor o iwal a dos , $q^2 > q+1$ aca solo dan lo pares $ (0,1),(1,1),(1,2)$ y simetricos, luego el único primo es el 5$ $TEX: Caso 2: $\ m^2+n^2\|(m^2+2mn+n^2-2(m+n)+2^2)$$ $TEX: Restando con () $\ m^2+n^2\|2mn-2m-2n+4 $ primero descartare el caso que sea igal a cero.$ $TEX: $\ 2mn-2m-2n+4=0 \implies mn-m-n+2=0 , (m-1)(n-1)=-1$ dando los pares $(2,0),(0,2)$ no es primo$ $TEX: $\ m^2+n^2 \le \ 2mn-2m-2n+4$$ $TEX: \ ,es conocido que$ $TEX: $\ 2mn \le \ m^2+n^2 $$ $TEX: , luego$ $TEX: $\ 2mn \le \ 2mn-2m-2n+4 , \ m+n \le \ 2$$ $TEX: \ luego los pares son,$ $TEX: $\ (2,0),(1,1),(1,0)$,$ $TEX: Osea el úni primo que cumple es el 5$ Mensaje modificado por Diego Navarro el Jun 19 2010, 08:54 PM

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2010, 04:08 PM Publicado: #122
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	Aca Vamos con un problema al estilo de Argentina!!!: $TEX: \textbf{Problema 26:} Sobre una mesa hay 88 cajas, Fredy distribuye en las cajas, a su eleccion, bolitas blancas y bolitas negras, tantas como quiera de cada color. A continuacion, Miguel, que ve cuantas bolitas de cada clase hay en cada caja, elige 28 de las cajas. Si las cajas que elijio Miguel contienen por lo menos $\displaystyle \frac{2}{7}$ del total de las bolitas blancas y por lo menos $\displaystyle \frac{2}{7}$ del total de las bolitas negras, gana Miguel. En caso contrario, gana Fredy. Determinar si Fredy puede elegir las bolitas y distribuirlas para impedir que gane Miguel.$ Mensaje modificado por Emi_C el Jun 20 2010, 04:10 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2010, 06:17 PM Publicado: #123
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Este problema de enunciado simple, parece facil, pero no lo es, sin embargo no es nada complejo, para una solucion bellisima ayuda mucho ordenar las cajas de mayor a menor o viseversa por la cantidad de bolitas de un color y luego evaluar la cantidad de bolitas del otro$ PD: Si no se entiende, o hace falta otro hint, todo por MP. Mensaje modificado por Emi_C el Jun 26 2010, 06:19 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2010, 09:26 AM Publicado: #124
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	Quiza no me di cuenta, y se me fue la manos con la dificultad del problema... este salio de un nacional de Argentina, asi que supuse que no iba a traer mucha mucha complicacion... Asi que lo cambio asi le damos continuidad a la maraton: $TEX: $ \textbf{Problema 26':}$ Sea un triángulo no degenerado con todos sus lados de longitudes enteras. Sabemos además que cada una de estas longitudes es un divisor del perímetro. Decidir si el triángulo es necesariamente equilátero.$ Mensaje modificado por Emi_C el Jul 2 2010, 09:29 AM -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2010, 11:03 AM Publicado: #125
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Sean $a,b,c$ los lados del triangulo . $a\|a+b+c \Rightarrow a\|b+c \Rightarrow pa=b+c$ con $p\ge2$ porque $b+c>a$ por la desigualdad triangular. Analogamente $qb=a+c$ y $rc=a+b$ con $q,r \ge 2$. Sumando las tres ultimas ecuaciones obtenemos $pa+qb+rc=2(a+b+c)$ o equivalentemente $(p-2)+(q-2)b+(r-2)c=0$. Pero como $p,q,r\ge 2$ se tiene que $p=q=r=2$. Luego es facil obtener $a=b=c$ entonces el triangulo es necesariametne equilatero$ -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2010, 07:44 PM Publicado: #126
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Jul 2 2010, 12:03 PM) $TEX: Sean $a,b,c$ los lados del triangulo . $a\|a+b+c \Rightarrow a\|b+c \Rightarrow pa=b+c$ con $p\ge2$ porque $b+c>a$ por la desigualdad triangular. Analogamente $qb=a+c$ y $rc=a+b$ con $q,r \ge 2$. Sumando las tres ultimas ecuaciones obtenemos $pa+qb+rc=2(a+b+c)$ o equivalentemente $(p-2)+(q-2)b+(r-2)c=0$. Pero como $p,q,r\ge 2$ se tiene que $p=q=r=2$. Luego es facil obtener $a=b=c$ entonces el triangulo es necesariametne equilatero$ Solucion correcta y aparentemente unica... Te toca PD: Increiblemente el problema postiado era de Alemania. -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2010, 07:54 PM Publicado: #127
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Sigamos con la causa, animense todos a postiar, pareciera que se ha detenido la maraton $TEX: $ \textbf{Problema 27:}$En un torneo, cada participante juega exactamente una vez con cada uno de los otros participantes. No hay empates. Luego de terminar el torneo cada participante hace una lista con los nombres de los participantes que: a) fueron derrotados por el b) fueron derrotados por los participantes a los que el derroto. Pruebe que existe un participante que tiene en su lista los nombres de todos los demas participantes.$ Animo cabros Mensaje modificado por xD13G0x el Jul 2 2010, 08:04 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2010, 08:13 PM Publicado: #128
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Supongamos que sean n competidores. Sea $a_k$, la cantidad de jugadores que aparecen en la primera parte de la lista para el jugador k-esimo.Lo homologo para $b_k$. Ahora supongamos que el enunciado no se cumple, entonces $a_1+b_1<n-1$,$a_2+b_2<n-1$,.......$a_n+b_n<n-1$. Sumando todas estas desigualdades tenemos que $(a_1+a_2+a_3+a_4+......+a_n)+(b_1+b_2+b_3+....+b_n)<n(n-1)$, como no hay empates,y se tiene que hubo $\dfrac {(n-1)(n)}{2}$ partidas, se obtiene que $a_1+a_2+a_3+a_4+......+a_n= \dfrac {(n-1)(n)}{2}$.Tenemos tambien que si un jugador gana a su rival una partida, sumara a la cuenta final de las sumas de la lista b el nombre de su rival en su lista, y el nombre de su rival en la lista de los que le han ganado. Ahora si el jugador pierde suma a la lista de su rival su nombre, y tambien a la lista de los que han triunfado sobre su rival. Tomando esto en cuenta se puede concluir que $b_1+b_2+b_3+....+b_n=\dfrac {(n-1)(n)}{2}$. Sustituyendo estos valores en la desigualdad se obtiene que $n(n-1)<n(n-1)$. Contradiccion. Por lo tanto el enunciado debe cumplirse$ Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Jul 2 2010, 08:49 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2010, 08:30 PM Publicado: #129
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	cuando dices $TEX: $b_1+b_2+...+b_n=\dfrac {(n-1)n}{2}$$ , como sabes eso, al menos yo no lo veo asi. A la espera de una solucion completamente correcta y bien explicada, (sin ofender) Mensaje modificado por xD13G0x el Jul 2 2010, 08:39 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2010, 08:57 PM Publicado: #130
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	Sigo sin entender por que la suma de todos los b_i da n(n-1)/2, y la explicacion tampoco la entiendo XD -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

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