Primera Maratón Olímpica 2010 - Foro fmat.cl

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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 03:23 PM Publicado: #111
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Diego Navarro @ Jun 6 2010, 04:05 PM) $TEX: Con esta distribucion qedan todos bien esepto el boton $a_{2n+1}$, al cual tiene todos los colores malos, pero basta ahora hacer el siguiente cambio$ $TEX: El boton $a_1$ con el boton $a_{2n+1}$ con el color $C_2$, el boton $a_2$ con el $a_{2n+1}$ con el color $C_3$, el boton $a_j$con el $a_{2n+1}$ con el color $C_{j+1}$ ..., al boton $a_{2n}$ con el boton $a_{2n+1}$ con $C_1$ (gracias por la correcion )$ $TEX: Ahora si creo qe esta biem$ Según este razonamiento, el cable que une $TEX: $C_2$$ con $TEX: $C_{2n+1}$$ recibe color $TEX: $C_3$$ , el mismo color que recibe el cable que conecta $TEX: $C_2$$ con $TEX: $C_1$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 03:47 PM Publicado: #112
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: Sean $a_1, a_2,..., a_{2n+1}$ los botones, los pintaremos respectivamente con los colores $C_1, C_2,..., C_{2n+1}$.<br />Considerare esto como una sucecion y fijare $C_{2n+2}=C_1, C_{2n+3}=C_2,..., C_{4n+1}=C_{2n}$ Al pintar los cables, usaremos la siguiente distribucion$ $TEX: El cable qe une $a_1$ con el $a_2$ con el color $C_3$,$a_1$ con el $a_3$ con el color $C_4$, $a_1$ con el $a_j$ con el color $C_{j+1}$$ $TEX: El cable qe une $a_2$ con el $a_3$ con el color $C_5$,$a_2$ con el $a_4$ con el color $C_6$, $a_2$ con el $a_j$ con el color $C_{j+2}$$ $TEX: El cable qe une $a_x$ con el $a_y$ con el color $C_{x+y}$,$a_x$ con el $a_{y+1}$ con el color $C_{x+y+1}$.$ $TEX: A todos los botones los unire con este algoritmo excepto al boton $a_{2n+1}$. Todos los botones estan unidos con los demases con $2n-1$ colores, basta unirlo con el boton $a_{2n+1}$ con el $a_1$ con el color qe no ha usado, el boton $a_2$ unirlo con el color qe no se ha unido con niungun otro boton, asi se unen todos los botones al $a_{2n+1}$ con el color qe no han usado$ $TEX: Ahora demostraremos que todos los botones estan unidos con color distinto$ $TEX: Fijemos un boton arbitrario $a_t$. Este está unido con el boton $a_1$ con el color $C_{t+1}$,con el boton $a_2$ con el color $C_{t+2}$,con el boton $a_s$ con el color $C_{t+s}$, notemos que nunca se repetira un color, debido que $\forall s,r \in \{1,2,3,...2n+1\}, s \neq r$ por lo tanto jamas se repetira un color , luego este esta unido con todos, y su color nunca aparecerá debido qe para qe apareciese, entonces debiese aparecer un j, tal qe $j+t=t$ pero en ese caso j seria nulo. Otra cosa, es qe nunca saldra de los colores de la sucesion que he fijado, basta tomar los dos elementos mayores y quedara $a_{2n}$y el$a_{2n+1}$, quedara el color $C_{4n+1}$$ $TEX: La verdad esqe es frustrante este proble y si denuevo me equivoqe yo cacho qe me rindo con el problema xdddd ojala qe este biem$ Mensaje modificado por Diego Navarro el Jun 6 2010, 03:50 PM

EnemyOfGod286 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 04:03 PM Publicado: #113
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 858 Registrado: 20-August 09 Desde: In my House Miembro Nº: 57.323 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean los botones $TEX: $$b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{2n+1}$$$ , pintados con los colores $TEX: $$c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{2n+1}$$$ de tal forma que el botón $TEX: $$b_{i}$$$ sea pintado con el color $TEX: $$c_{i}$$$ , $TEX: $$i \in \{1,2,\ldots,2n+1\}$$$ Ahora notemos que el botón $TEX: $$b_{j}$$$ debe estar conectado con $TEX: 2n$ botones, por lo que deben haber $TEX: 2n$ cables conectados al botón $TEX: $$b_{j}$$$ . Ahora la cantidad de combinaciones que se pueden hacer de tal forma que siempre falte un color es: $TEX: $$\dbinom{2n+1}{2n}=2n+1$$$ Por lo que tenemos $TEX: 2n+1$ combinaciones de colores, estas combinaciones se reparten de tal forma que en donde falte el color $TEX: $$c_{j}$$$ , valla con los cables conectados al botón $TEX: $$b_{j}$$$ . Luego las combinaciones de colores se arreglan en 1 permutación cualquiera tal que el cable conectado con los botones $TEX: $$b_{i}, b_{k}$$$ no este pintado con el color $TEX: $$c_{k}$$$ Por lo que si se puede ocupar $TEX: 2n+1$ colores.

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 08:14 PM Publicado: #114
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Un comentario,si me validan, yo no mee podre meter al pc en un tiempo (tengo un internet raro xddd), pero Enemy of God es mi compañero de mi curso asiqe le pasare la pregunta a el para qe el lo postee, y cuando lo saqen, el me la traera la respuesta al colegio y le dire si esta biem para qe el valide, esqe estabamos compitiendo para ver quien sacaba primero la pregunta xddd, porfa qe esto no sea un impedimento para qe no me validen siesqe esta biem. Si no me validen ignoren este comentario xddd.

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 08:20 PM Publicado: #115
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Primero disculpas por el retraso (PC Fail) CITA(Diego Navarro @ Jun 6 2010, 04:47 PM) $TEX: Sean $a_1, a_2,..., a_{2n+1}$ los botones, los pintaremos respectivamente con los colores $C_1, C_2,..., C_{2n+1}$.<br />Considerare esto como una sucecion y fijare $C_{2n+2}=C_1, C_{2n+3}=C_2,..., C_{4n+1}=C_{2n}$ Al pintar los cables, usaremos la siguiente distribucion$ $TEX: El cable qe une $a_1$ con el $a_2$ con el color $C_3$,$a_1$ con el $a_3$ con el color $C_4$, $a_1$ con el $a_j$ con el color $C_{j+1}$$ $TEX: El cable qe une $a_2$ con el $a_3$ con el color $C_5$,$a_2$ con el $a_4$ con el color $C_6$, $a_2$ con el $a_j$ con el color $C_{j+2}$$ $TEX: El cable qe une $a_x$ con el $a_y$ con el color $C_{x+y}$,$a_x$ con el $a_{y+1}$ con el color $C_{x+y+1}$.$ $TEX: A todos los botones los unire con este algoritmo excepto al boton $a_{2n+1}$. Todos los botones estan unidos con los demases con $2n-1$ colores, basta unirlo con el boton $a_{2n+1}$ con el $a_1$ con el color qe no ha usado, el boton $a_2$ unirlo con el color qe no se ha unido con niungun otro boton, asi se unen todos los botones al $a_{2n+1}$ con el color qe no han usado$ $TEX: Ahora demostraremos que todos los botones estan unidos con color distinto$ $TEX: Fijemos un boton arbitrario $a_t$. Este está unido con el boton $a_1$ con el color $C_{t+1}$,con el boton $a_2$ con el color $C_{t+2}$,con el boton $a_s$ con el color $C_{t+s}$, notemos que nunca se repetira un color, debido que $\forall s,r \in \{1,2,3,...2n+1\}, s \neq r$ por lo tanto jamas se repetira un color , luego este esta unido con todos, y su color nunca aparecerá debido qe para qe apareciese, entonces debiese aparecer un j, tal qe $j+t=t$ pero en ese caso j seria nulo. Otra cosa, es qe nunca saldra de los colores de la sucesion que he fijado, basta tomar los dos elementos mayores y quedara $a_{2n}$y el$a_{2n+1}$, quedara el color $C_{4n+1}$$ $TEX: La verdad esqe es frustrante este proble y si denuevo me equivoqe yo cacho qe me rindo con el problema xdddd ojala qe este biem$ "Si te caes 7 veces, levantate 8" El algoritmo funciona y esta explicado para los primeros 2n botones pero falta explicar por que para el ultimo tambien funciona. CITA(EnemyOfGod286 @ Jun 6 2010, 05:03 PM) Sean los botones $TEX: $$b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{2n+1}$$$ , pintados con los colores $TEX: $$c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{2n+1}$$$ de tal forma que el botón $TEX: $$b_{i}$$$ sea pintado con el color $TEX: $$c_{i}$$$ , $TEX: $$i \in \{1,2,\ldots,2n+1\}$$$ Ahora notemos que el botón $TEX: $$b_{j}$$$ debe estar conectado con $TEX: 2n$ botones, por lo que deben haber $TEX: 2n$ cables conectados al botón $TEX: $$b_{j}$$$ . Ahora la cantidad de combinaciones que se pueden hacer de tal forma que siempre falte un color es: $TEX: $$\dbinom{2n+1}{2n}=2n+1$$$ Por lo que tenemos $TEX: 2n+1$ combinaciones de colores, estas combinaciones se reparten de tal forma que en donde falte el color $TEX: $$c_{j}$$$ , valla con los cables conectados al botón $TEX: $$b_{j}$$$ . Luego las combinaciones de colores se arreglan en 1 permutación cualquiera tal que el cable conectado con los botones $TEX: $$b_{i}, b_{k}$$$ no este pintado con el color $TEX: $$c_{k}$$$ Por lo que si se puede ocupar $TEX: 2n+1$ colores. Aqui no aseguras si se repite colores asociados a algun boton. Podria darse el caso de que se repitan colores que es lo que no queremos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 08:51 PM Publicado: #116
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: Bueno todos los botones han usado $2n-1$ colores entre ellos, solo les qeda un color para usar, debido qe no puede usar su mismo color, por lo tanto si empiezo a unir todos los botones al $a_{2n+1}$ con el color qe les falta usar, este qedara a todos unidos. Como el algoritmo funciona para los $2n$ terminos qere decir odos los terminos les falta usar un color distinto, debido qe si lo ubiesen usado al unirlse con algun otro boton, el boton qe tenga este color, tendria $2n-2$ colores de cables para unirse a los $2n-1$ botones restantes, por el princncipio de palomar tendria qe usar un color ya usado con otro boton, que es una contradiccion. Por lo tanto, todos los botones estan unidos al boton $a_{2n+1}$ con color distinto.Otra cosa es qe todos los botones esta unidos con el color $C_{2n+1}$,entre ellos, porqe cualquier boton, digamos $a_{k}$, unido con otro boton con el color $C_{2n+1}$ estara unido con el boton $a_{2n+1-k}$ (por el algoritmo), lo cual claramente es un boton entre los $2n$ primeros$ Mensaje modificado por Diego Navarro el Jun 6 2010, 09:02 PM

Aheit Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 11:02 PM Publicado: #117
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 143 Registrado: 6-February 08 Desde: desde aquí Miembro Nº: 15.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Analizaremos los botones particularmente considerando los cables a los que est\'a conectados}} \hfill \\<br /> {\text{pero despreciando los cables que ya analizamos}} \hfill \\<br /> {\text{Sea b}}_1 ,b_2 ...b_{2n + 1} {\text{ los botones c}}_1 ,c_2 ...c_{2n + 1} {\text{ los colores podremos hacer lo siguente:}} \hfill \\<br /> b_1 {\text{ lo pintaremos con el color c}}_1 {\text{ y estar\'a conectado a 2n botones cuyos cables se pintar\'a n}} \hfill \\<br /> {\text{con los colores c}}_3 {\text{ para b}}_2 ,c_4 {\text{ para b}}_3 ...c_{2n + 1} {\text{ para b}}_{2n} {\text{ y c}}_2 {\text{ para b}}_{2n + 1} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b}}_2 {\text{ lo pintaremos con el color c}}_2 {\text{ y estar\'a conectado a 2n botones de los cuales 2n - 1 no estar\'a n}} \hfill \\<br /> {\text{pintados}}{\text{, ya que est\'a ocupado el color c}}_3 {\text{ que conecta b}}_2 {\text{ con b}}_1 {\text{ Usamos los colores restantes}} \hfill \\<br /> {\text{c}}_5 {\text{ para b}}_3 ....{\text{ c}}_{2n + 1} {\text{ para b}}_{2n - 1} {\text{, c}}_1 {\text{ para b}}_{2n} ,{\text{ c}}_4 {\text{ para b}}_{2n + 1} \hfill \\<br /> .{\text{ }}{\text{. }}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{En general para cada b}}_j {\text{ se pinta del color c}}_j {\text{ y los cables no pintados se les distribuye los colores}} \hfill \\<br /> {\text{de la forma c}}_{i + j} {\text{ para b}}_i {\text{ en el caso de que i + j}} > {\text{2n + 1 se pintar\'a del color c}}_{i + j - 2n - 1} \hfill \\<br /> {\text{y ademas para b}}_{2n + 1} {\text{ se pintar\'a con c}}_{2j} {\text{ en el caso de que 2j}} > {\text{2n + 1 se pintar\'a con c}}_{2j - 2n - 1} \hfill \\<br /> {\text{as\'i el b}}_{2n} {\text{ ya estar\'a conectado con 2n cables ya pintados y faltar\'i a solamente pintar el cable que}} \hfill \\<br /> {\text{lo une con b}}_{2n + 1} {\text{ el color usado ser\'i a c}}_{2n - 1} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br /><br />$ -------------------- \|Ente Inmiscible\|

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 13 2010, 06:28 PM Publicado: #118
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Holas, primero disculpas por mi ausencia, fueron por motivos de fuerza mayor CITA(Diego Navarro @ Jun 6 2010, 09:51 PM) $TEX: Bueno todos los botones han usado $2n-1$ colores entre ellos, solo les qeda un color para usar, debido qe no puede usar su mismo color, por lo tanto si empiezo a unir todos los botones al $a_{2n+1}$ con el color qe les falta usar, este qedara a todos unidos. Como el algoritmo funciona para los $2n$ terminos qere decir odos los terminos les falta usar un color distinto, debido qe si lo ubiesen usado al unirlse con algun otro boton, el boton qe tenga este color, tendria $2n-2$ colores de cables para unirse a los $2n-1$ botones restantes, por el princncipio de palomar tendria qe usar un color ya usado con otro boton, que es una contradiccion. Por lo tanto, todos los botones estan unidos al boton $a_{2n+1}$ con color distinto.Otra cosa es qe todos los botones esta unidos con el color $C_{2n+1}$,entre ellos, porqe cualquier boton, digamos $a_{k}$, unido con otro boton con el color $C_{2n+1}$ estara unido con el boton $a_{2n+1-k}$ (por el algoritmo), lo cual claramente es un boton entre los $2n$ primeros$ Primero debo decir que la redacción y la ortografía me enredó un poco . Es muy importante redactar lo mejor posible las ideas en este tipo de preguntas, ya que así se facilita la pega de asignar los puntos. El argumento para probar que no se repiten colores esta muy confuso como para validarlo =/ CITA(Aheit @ Jun 7 2010, 12:02 AM) $TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Analizaremos los botones particularmente considerando los cables a los que est\'a conectados}} \hfill \\<br /> {\text{pero despreciando los cables que ya analizamos}} \hfill \\<br /> {\text{Sea b}}_1 ,b_2 ...b_{2n + 1} {\text{ los botones c}}_1 ,c_2 ...c_{2n + 1} {\text{ los colores podremos hacer lo siguente:}} \hfill \\<br /> b_1 {\text{ lo pintaremos con el color c}}_1 {\text{ y estar\'a conectado a 2n botones cuyos cables se pintar\'a n}} \hfill \\<br /> {\text{con los colores c}}_3 {\text{ para b}}_2 ,c_4 {\text{ para b}}_3 ...c_{2n + 1} {\text{ para b}}_{2n} {\text{ y c}}_2 {\text{ para b}}_{2n + 1} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b}}_2 {\text{ lo pintaremos con el color c}}_2 {\text{ y estar\'a conectado a 2n botones de los cuales 2n - 1 no estar\'a n}} \hfill \\<br /> {\text{pintados}}{\text{, ya que est\'a ocupado el color c}}_3 {\text{ que conecta b}}_2 {\text{ con b}}_1 {\text{ Usamos los colores restantes}} \hfill \\<br /> {\text{c}}_5 {\text{ para b}}_3 ....{\text{ c}}_{2n + 1} {\text{ para b}}_{2n - 1} {\text{, c}}_1 {\text{ para b}}_{2n} ,{\text{ c}}_4 {\text{ para b}}_{2n + 1} \hfill \\<br /> .{\text{ }}{\text{. }}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{En general para cada b}}_j {\text{ se pinta del color c}}_j {\text{ y los cables no pintados se les distribuye los colores}} \hfill \\<br /> {\text{de la forma c}}_{i + j} {\text{ para b}}_i {\text{ en el caso de que i + j}} > {\text{2n + 1 se pintar\'a del color c}}_{i + j - 2n - 1} \hfill \\<br /> {\text{y ademas para b}}_{2n + 1} {\text{ se pintar\'a con c}}_{2j} {\text{ en el caso de que 2j}} > {\text{2n + 1 se pintar\'a con c}}_{2j - 2n - 1} \hfill \\<br /> {\text{as\'i el b}}_{2n} {\text{ ya estar\'a conectado con 2n cables ya pintados y faltar\'i a solamente pintar el cable que}} \hfill \\<br /> {\text{lo une con b}}_{2n + 1} {\text{ el color usado ser\'i a c}}_{2n - 1} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br /><br />$ A decir verdad, la coloración que ocupaste es la misma que la ocupada por Diego Navarro xD. Acá falta justificar el mismo detalle que a Diego en los anteriores intentos (el justificar pq no se repiten los colores). Para no enfriar la maratón, colocaré la coloración que tenía esperada: $TEX: Sean $B_1, B_2,..., B_{2n+1}$ los botones. A cada botón $B_j$ se le asigna el color $c_{r(2j)}$ (donde $r(k)$ es el resto de $k$ módulo $2n+1$). Finalmente, al cable que une $B_i$ con $B_j$ se le pintará con el color $c_{r(i+j)}$.<br /><br />Ahora se mostrará que esta coloración funciona. Supongamos que los cables $\overline {B_iB_j}$ y $\overline {B_iB_k}$ están pintados con el mismo color. Entonces se tiene que $i+j\equiv i+k\pmod {2n+1}$, o sea, $j\equiv k \pmod {2n+1}$ y como $j,k$ son menores que $2n+1$ se cumple que $j=k$. <br /><br />Los colores asignados a los botones no se repiten, ya que si $B_i, B_j$ tuvieran el mismo color asignado, entonces $2i\equiv 2j\pmod {2n+1}$, y esto implica que $2n+1\|2(i-j)$. Como $mcd(2,2n+1)=1$, se tiene que $2n+1\|i-j$ y como $i,j$ son menores que $2n+1$ se tiene que $i=j$.<br /><br />Para finalizar, basta probar que ningún cable unido a $B_i$ tiene color $c_{r(2i)}$. Pero si se diera el caso, y el cable $\overline {B_iB_j}$ fuese pintado de color $c_{r(2i)}$, se tendría que $i+j\equiv 2i \pmod {2n+1}$, de donde se obtiene nuevamente que $i=j$.<br /><br />Por lo tanto la coloración funciona de maravillas. $\blacksquare$$ No obstante, la coloración propuesta por Diego Navarrio también funciona. Para la parte complicada (el cable $TEX: $\overline {B_iB_{2n+1}}$$ ) asignandole el color $TEX: $c_{r(2i)}$$ y ocupando los argumentos exhibidos se probaría que funciona. Como premio al empeño mostrado por Diego, le doy el derecho a proponer el p25 Obs: Cualquier reclamo, o duda porfa envienme un mp para no desvirtuar la maratón. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

EnemyOfGod286 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2010, 04:18 PM Publicado: #119
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 858 Registrado: 20-August 09 Desde: In my House Miembro Nº: 57.323 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Diego Navarro @ Jun 6 2010, 09:14 PM) Un comentario,si me validan, yo no mee podre meter al pc en un tiempo (tengo un internet raro xddd), pero Enemy of God es mi compañero de mi curso asiqe le pasare la pregunta a el para qe el lo postee, y cuando lo saqen, el me la traera la respuesta al colegio y le dire si esta biem para qe el valide, esqe estabamos compitiendo para ver quien sacaba primero la pregunta xddd, porfa qe esto no sea un impedimento para qe no me validen siesqe esta biem. Si no me validen ignoren este comentario xddd. Bueno, Diego Navarro no podra conectarse hasta el fin de semana, asi que me dio la autorizacion para que yo colo que el siguiente propuesto y aqui va. $TEX: \textbf{Problema 25:} Sea $p$ un primo $p\ge 3$, tal que $p=m^{2}+n^{2}$, $m,n\in \mathbb{N} \cup \{0\}$.<br /><br />Encuentre todos los primos $p$ que dividan a $m^{3}+n^{3}-4$$

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2010, 11:53 PM Publicado: #120
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	Bueno, punto numero uno, soy estudiante de nivel medio en Argentina, punto numero dos, me salio y mi orgullo es muy grande como para no postiarlo : $TEX: Por el teorema de Fermat sobre suma de dos cuadrados $p \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow m \ne n$.$ $TEX: Luego tenemos: $m^3+n^3 \equiv 4 \pmod{p} \Rightarrow (m+n)(m^2+n^2-mn) \equiv 4 \pmod{p} \Rightarrow (m+n)(-mn) \equiv 4 \pmod{p} \Rightarrow (m+n)mn \equiv -4 \pmod{p} \Rightarrow 2mn(m+n) \equiv -8 \pmod{p} \Rightarrow 2mn(m+n)+(m^2+n^2)(m+n) \equiv -8 \pmod{p} \Rightarrow (m^2+n^2+2mn)(m+n) \equiv -8 \pmod{p} \Rightarrow (m+n)^2(m+n) \equiv -8 \pmod{p} \Rightarrow (m+n)^3 \equiv -8 \pmod{p} \Rightarrow (m+n)^3+2^3 \equiv 0 \pmod{p} \Rightarrow (m+n+2)((m+n)^2+2^2-2(m+n)) \equiv 0 \pmod{p} \Rightarrow (m+n+2)(m^2+n^2+2mn+2^2-2(m+n)) \equiv 0 \pmod{p} \Rightarrow (m+n+2)(2mn+2^2-2(m+n)) \equiv 0 \pmod{p} \Rightarrow 2(m+n+2)(mn+2-(m+n)) \equiv 0 \pmod{p}$$ $TEX: Ahora veremos que: $mn+2-(m+n) \not\equiv 0 \pmod{p}$$ $TEX: Como $m \ne n$, usando la desigualdad de la medias aritmeticas y geometricas y reordenando:$ $TEX: $p+m+n=m^2+n^2+m+n>2mn+2 \sqrt{mn}>mn+2 \Rightarrow p>mn+2-(m+n)$$ $TEX: Ademas $mn+2>m+n$$ $TEX: De ahi se obtiene que: $mn+2-(m+n) \not\equiv 0 \pmod{p}$, entonces: $m+n+2 \equiv 0 \pmod{p}\Rightarrow m+n \equiv -2 \pmod{p}$, como habiamos visto antes:$(m+n)mn \equiv -4 \pmod{p} \Rightarrow -2mn \equiv -4 \pmod{p} \Rightarrow 2mn \equiv 4 \pmod{p}$$ $TEX: Pero notamos que mediante un sencillo ordeamiento: $p=m^2+n^2>2mn \Rightarrow 2mn \equiv 4 \pmod{p} \Leftrightarrow 2mn=4 \Rightarrow mn=2$, esto ocurre solo si entre $m$ y $n$ hay un 1 y un 2, luego $p=1^2+2^2=5$, que se puede ver que facilmente cumple con los requisitos del enunciado y es unico por lo ya desarrollado.$ Mensaje modificado por Emi_C el Jun 19 2010, 09:54 AM -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

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