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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2010, 01:44 PM Publicado: #101
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Assassin.... @ Jun 5 2010, 02:29 PM) $TEX: \textbf{Problema 23:} Sean $a,\ b,\ c >0$ con $a+b+c=1$. Pruebe que: <br />$$\dfrac{a}{(b+c)^2}+\dfrac{b}{(c+a)^2}+\dfrac{c}{(a+b)^2}\geq \dfrac{9}{4}$$$ $TEX: $a+b+c=1$, entonces $b+c=1-a$,$a+c=1-b$ y $b+c=1-a$. Ahora notemos $f(x)=\dfrac {x}{(1-x)^2}$, es facil ver que esta funcion es convexa en (0,1) donde claramente pertenecen estas variables. Entonces por la desigualdad de Jensen tenemos que $\dfrac {f(a)+f(b)+f©}{3}\ge f(\dfrac {a+b+c}{3})=\dfrac {3}{4}$, entonces $f(a)+f(b)+f©= \dfrac {a}{(1-a)^2}+\dfrac {b}{(1-b)^2}+\dfrac {c}{(1-c)^2}=\dfrac{a}{(b+c)^2}+\dfrac{b}{(c+a)^2}+\dfrac{c}{(a+b)^2}\ge \dfrac {9}{4}$, demostrando lo pedido.$ Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Jun 5 2010, 02:32 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2010, 02:14 PM Publicado: #102
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Assassin.... @ Jun 5 2010, 02:29 PM) $TEX: \textbf{Problema 23:} Sean $a,\ b,\ c >0$ con $a+b+c=1$. Pruebe que: <br />$$\dfrac{a}{(b+c)^2}+\dfrac{b}{(c+a)^2}+\dfrac{c}{(a+b)^2}\geq \dfrac{9}{4}$$$ $TEX: Sea $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ definida por $f(x)=x^{-2}$. Entonces $f''(x)=6x^{-4}$, la cual es positiva en $\mathbb {R}$, y por ende $f$ es convexa. Entonces, por la desigualdad de Jensen: $$\sum af(b+c)\ge (a+b+c)f(\dfrac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c})=f(2(ab+bc+ca))$$<br /><br />Como $f(2ab+2bc+2ca)=\frac{1}{4(ab+bc+ca)^2}$, estaríamos listos si probamos que esta última expresión es mayor o igual que $9/4$. Pero notemos que $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$, y entonces $(ab+bc+ca)^2\leq \frac{1}{9}$, que equivale a la desigualdad $$\dfrac{1}{(ab+bc+ca)^2}\ge 9$$<br /><br />Ya estamos listos con la desigualdad pedida.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Assassin.... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2010, 08:08 PM Publicado: #103
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 20-October 07 Miembro Nº: 11.559 Nacionalidad: Sexo:	Ambas soluciones son correctas aunque a Pedantic le falta argumentar un poco que la función es convexa en (0,1) por muy evidente que sea. Ahora Pedantic Anarchy repondió primero pero luego editó. Como en las bases no dice nada acerca de esto no puedo decir a quien se le da el turno hasta que se fije esto en las reglas. Saludos

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2010, 08:18 PM Publicado: #104
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hummm...cielos, no lo habia pensado D: Para este caso, el proponente decidirá cuál es la solución más correcta. En caso de que ambas estén correctas (es decir, sin ningún error u omisión), la primera es la válida. En caso de edición, se considera la hora de solución la anotada en la edición . -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2010, 08:25 PM Publicado: #105
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	propongo?? -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Assassin.... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2010, 08:28 PM Publicado: #106
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 20-October 07 Miembro Nº: 11.559 Nacionalidad: Sexo:	En tal caso Pedantic tiene que argumentar a qué se debe su edición, en todo caso la solución de don Fatal está un poco mejor argumentada, por lo que tendría que darle el pase a él. PD: Pensando unos minutos debo darle el pase a Fatal, por las razones antes mencionadas... Mensaje modificado por Assassin.... el Jun 5 2010, 08:33 PM

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2010, 08:44 PM Publicado: #107
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \textbf {Problema 24:} En una habitación hay $2n+1$ botones (donde $n$ es un número natural). Para cada par de botones existe un cable que los conecta. Cristián debe pintar los botones y cables ocupando varios colores, de modo que:$ $TEX: $(i)$ No hayan dos botones pintados del mismo color<br /><br />$(ii)$ Todos los cables que emanan de un mismo botón están pintados de distinto color<br /><br />$(iii)$ Ningún cable que emane de un botón tiene el mismo color que el botón del que emana$ $TEX: Determine si Cristián puede ocupar solamente $2n+1$ colores.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 02:18 PM Publicado: #108
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: Sean $a_1, a_2,..., a_{2n+1}$ los botones, los pintaremos respectivamente con los colores $C_1, C_2,..., C_{2n+1}$.<br />Considerare esto como una sucecion y fijare $C_{2n+2}=C_1, C_{2n+3}=C_2,..., C_{4n+1}=C_{2n}$ Al pintar los cables, usaremos la siguiente distribucion$ $TEX: El cable qe une $a_1$ con el $a_2$ con el color $C_3$,$a_1$ con el $a_3$ con el color $C_4$, $a_1$ con el $a_j$ con el color $C_{j+1}$$ $TEX: El cable qe une $a_2$ con el $a_3$ con el color $C_5$,$a_2$ con el $a_4$ con el color $C_6$, $a_2$ con el $a_j$ con el color $C_{j+2}$$ $TEX: El cable qe une $a_x$ con el $a_y$ con el color $C_{x+y}$,$a_x$ con el $a_{y+1}$ con el color $C_{x+y+1}$.$ $TEX: Ahora demostraremos que todos los botones estan unidos con color distinto$ $TEX: Fijemos un boton arbitrario $a_t$. Este está unido con el boton $a_1$ con el color $C_{t+1}$,con el boton $a_2$ con el color $C_{t+2}$,con el boton $a_s$ con el color $C_{t+s}$, notemos que nunca se repetira un color, debido que $\forall s,r \in \{1,2,3,...2n+1\}, s \neq r$ por lo tanto jamas se repetira un color , luego este esta unido con todos, y su color nunca aparecerá debido qe para qe apareciese, entonces debiese aparecer un j, tal qe $j+t=t$ pero en ese caso j seria nulo. Otra cosa, es qe nunca saldra de los colores de la sucesion que he fijado, basta tomar los dos elementos mayores y quedara $a_{2n}$y el$a_{2n+1}$, quedara el color $C_{4n+1}$$ $TEX: Me costo un monton argumentarlo biem xDDDD, pero creo qe esta biem$ Mensaje modificado por Diego Navarro el Jun 6 2010, 03:08 PM

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 02:51 PM Publicado: #109
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Diego Navarro @ Jun 6 2010, 03:18 PM) $TEX: Sean $a_1, a_2,..., a_{2n+1}$ los botones, los pintaremos respectivamente con los colores $C_1, C_2,..., C_{2n+1}$.<br />Considerare esto como una sucecion y fijare $C_{2n+2}=C_1, C_{2n+3}=C_2,..., C_{4n+1}=C_{2n}$ Al pintar los cables, usaremos la siguiente distribucion$ $TEX: El cable qe une $a_1$ con el $a_2$ con el color $C_3$,$a_1$ con el $a_3$ con el color $C_4$, $a_1$ con el $a_j$ con el color $C_{j+1}$$ $TEX: El cable qe une $a_2$ con el $a_3$ con el color $C_5$,$a_2$ con el $a_4$ con el color $C_6$, $a_2$ con el $a_j$ con el color $C_{j+2}$$ $TEX: El cable qe une $a_x$ con el $a_y$ con el color $C_{x+y}$,$a_x$ con el $a_{y+1}$ con el color $C_{x+y+1}$.$ Para la coloración hecha a los cables, bastaba únicamente con lo expuesto en las dos últimas líneas. Sin embargo, lo expuesto más arriba explica un poco mejor cómo hacerlo. Punto a favor El inconveniente que invalida tu algoritmo es que según esa coloración, el cable que junta $TEX: $a_1$$ con $TEX: $a_{2n+1}$$ recibe colo $TEX: $1+2n+1=2n+2=1$$ , que es el mismo color que recibe $TEX: $a_1$$ Asi que el problema sigue en pie. Pero la idea de los colores de los cables no es una mala idea, podria decirse que la cosa por ahi va, basta ajustar el argumento que dices, de modo que se arreglen los inconveniente y ya estamos al otro lado. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2010, 03:05 PM Publicado: #110
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: Sean $a_1, a_2,..., a_{2n+1}$ los botones, los pintaremos respectivamente con los colores $C_1, C_2,..., C_{2n+1}$.<br />Considerare esto como una sucecion y fijare $C_{2n+2}=C_1, C_{2n+3}=C_2,..., C_{4n+1}=C_{2n}$ Al pintar los cables, usaremos la siguiente distribucion$ $TEX: El cable qe une $a_1$ con el $a_2$ con el color $C_3$,$a_1$ con el $a_3$ con el color $C_4$, $a_1$ con el $a_j$ con el color $C_{j+1}$$ $TEX: El cable qe une $a_2$ con el $a_3$ con el color $C_5$,$a_2$ con el $a_4$ con el color $C_6$, $a_2$ con el $a_j$ con el color $C_{j+2}$$ $TEX: El cable qe une $a_x$ con el $a_y$ con el color $C_{x+y}$,$a_x$ con el $a_{y+1}$ con el color $C_{x+y+1}$.$ $TEX: Ahora demostraremos que todos los botones estan unidos con color distinto$ $TEX: Fijemos un boton arbitrario $a_t$. Este está unido con el boton $a_1$ con el color $C_{t+1}$,con el boton $a_2$ con el color $C_{t+2}$,con el boton $a_s$ con el color $C_{t+s}$, notemos que nunca se repetira un color, debido que $\forall s,r \in \{1,2,3,...2n+1\}, s \neq r$ por lo tanto jamas se repetira un color , luego este esta unido con todos, y su color nunca aparecerá debido qe para qe apareciese, entonces debiese aparecer un j, tal qe $j+t=t$ pero en ese caso j seria nulo. Otra cosa, es qe nunca saldra de los colores de la sucesion que he fijado, basta tomar los dos elementos mayores y quedara $a_{2n}$y el$a_{2n+1}$, quedara el color $C_{4n+1}$$ $TEX: Con esta distribucion qedan todos bien esepto el boton $a_{2n+1}$, al cual tiene todos los colores malos, pero basta ahora hacer el siguiente cambio$ $TEX: El boton $a_1$ con el boton $a_{2n+1}$ con el color $C_2$, el boton $a_2$ con el $a_{2n+1}$ con el color $C_3$, el boton $a_j$con el $a_{2n+1}$ con el color $C_{j+1}$ ..., al boton $a_{2n}$ con el boton $a_{2n+1}$ con $C_1$ (gracias por la correcion )$ $TEX: Ahora si creo qe esta biem$ Mensaje modificado por Diego Navarro el Jun 6 2010, 03:40 PM

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