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Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 05:24 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	pondre otro hint pues el problema ya lleva mucho tiempo: empieze con al desigualdad $TEX: $\sqrt {N}<N+1$$ con N entero, tomen en cuenta el anterior hint tambien -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 08:11 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Matemos el problema de una vez... (lo intenté, pero el último hint fue la clave) $TEX: Partimos con la desigualdad $\sqrt{N}<N<N+1 \implies \sqrt{N}<N+1$, luego considere la desigualdad $\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}<N$, que es cierta si eliminamos las raíces elevando a $4$, ahora sea $M$ un natural ($M<N$) y considere la que la desigualdad:$ $TEX: $\sqrt{(N-M) \sqrt{(N-M+1)... \sqrt{(N-1) \sqrt{N}}}}<N-M+1$$ $TEX: es cierta para un $M$, luego probaremos por inducción que también lo es para $M+1$, es decir, probaremos la desigualdad:$ $TEX: $\sqrt{(N-M-1) \sqrt{(N-M)... \sqrt{(N-1) \sqrt{N}}}}<N-M$$ $TEX: Para esto considere que $\sqrt{(N-M) \sqrt{(N-M+1)... \sqrt{(N-1) \sqrt{N}}}}<N-M+1$, luego si multiplicamos por $(N-M-1) \implies $$ $TEX: \noindent $(N-M-1) \sqrt{(N-M) \sqrt{(N-M+1)... \sqrt{(N-1) \sqrt{N}}}}<(N-M-1)(N-M+1)$,$ $TEX: y sacando raíz cuadrada tenemos:$ $TEX: \noindent $\sqrt{(N-M-1) \sqrt{(N-M) \sqrt{(N-M+1)... \sqrt{(N-1) \sqrt{N}}}}}<\sqrt{(N-M-1)(N-M+1)}=\sqrt{(N-M)^2-1}<\sqrt{(N-M)^2}=N-M$. $\blacksquare$$ $TEX: Reemplazando $M=N-2$ en esta desigualdad ya probada, tenemos lo pedido en el problema original.$ Simplemente hermoso... un tipo raro de inducción, pero al final salió . Propondré el siguiente si está correcto. Saludos y Dios los bendiga. PD: diego me siento realizado . -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 08:57 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Solucion correcta, amigo Makkmat, al final valio la pena tanto cabezeo. y bien explicada. Ahora dispara po!!! , lastima que las reglas dicen que no puedo responder tu problema (sino me fusilabas con uno de combi). -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2010, 10:44 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No sabía que problema colocar, al principio iba a colocar uno asesino xd, pero me arrepentí pues servirá para la Futura Maratón 2010, así que ahí va uno no tan compejo: $TEX: \textbf {Problema 4:} Pruebe la igualdad: $$\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{2n-1}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2n-1}$$$ Saludos y intentenlo que no es difícil, ni parecido con el problema 3 que "casi" arruinó la Maratón. Sin hints por ahora. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2010, 08:47 AM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No olviden que es sólo para estudiantes de media, secundaria pero no universitarios ni graduados porfa D: Por eso eliminé la respuesta correcta que se había colocado. Como estoy en clases, me remito a decir un par de comentarios del p3. Como se vió, la clave era el segundo hint dado por el buen Diego (a partir de ahí era "sencillo", pero sin ese hint se veía mucho más complicado). De hecho, al ver el hint, había llegado a la misma respuesta que makmat, y la estaba escribiendo pero...ya saben el resto . El p4 es bien bonito y no es difícil. Saludos! -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2010, 05:14 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: sale simple por induccion y siendo observadores<br />Vemos que para $n=1$ se cumple la igualdad,<br />luego analizamos para $n=k$, asumiendo que es verdadera, \\logramos llegar a que se cumple para $n=k+1$<br />Luego, se concluye que para cualquier n en los naturales se cumple la identidad.\\<br />Creo que puse bastante clara la notacion, \\ademas de aclarar que sume un "cero astuto" en los ultimos pasos, \\no cfeo que quede algo dudoso.$ $TEX: $$ SeanP(k)=\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k-1}$$\\ <br /> $$Q(k)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k-1} $$\\ <br /> $$P(k)=Q(k) $$\\$ $TEX: $$\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k-1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k-1}$$ \\ <br /> $$\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}$$ \\ <br /> $$ \frac{1}{k}+(\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1})=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1} $$\\ <br /> $$\frac{1}{k}+P(k+1)=(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1})+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}$$ \\ <br /> $$\frac{1}{k}+P(k+1)=Q(k+1)+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}=Q(k+1)+\frac{2}{2k}$$ \\ <br /> $$\frac{1}{k}+P(k+1)=Q(k+1)+\frac{1}{k}$$ \\ <br /> $$P(k+1)=Q(k+1) \\ $$$ $TEX: Saludos!!!$ -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2010, 05:16 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	Solo queria comentar que la Solucion a ese problema de makmat creo que involucra usar Telescopicas y esas cosas, y esa solucion por Induccion no se me habia ocurrido, ademas q lo encuentro muy engorroso xdd. Eso era :x -------------------- CHAO.

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2010, 05:24 PM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(69___ @ May 6 2010, 06:16 PM) Solo queria comentar que la Solucion a ese problema de makmat creo que involucra usar Telescopicas y esas cosas, y esa solucion por Induccion no se me habia ocurrido, ademas q lo encuentro muy engorroso xdd. Eso era :x que pesao xDDD (broma porsia, no ando trolleando) ehm...telescopicas la verdad lo aprendi el año pasado por m icuenta y nunca hice problemasde eso, asi que lo tengo medio olvidado...y lo de engorroso, casi todas las soluciones de iduccion que he visto salen enmas de 3 lineas XD y por cierto...no creo que un problema tenga "una" solucion, como tu nombras que la de telescopicas es La Solucion del problema, aunque me pareceria bonito ver la de telescopicas,a ver si mañanalo repaso y la saco Saludos! Mensaje modificado por Hamon el May 6 2010, 05:25 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2010, 05:26 PM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	CITA(Hamon @ May 6 2010, 06:24 PM) que pesao xDDD (broma porsia, no ando trolleando) ehm...telescopicas la verdad lo aprendi el año pasado por m icuenta y nunca hice problemasde eso, asi que lo tengo medio olvidado...y lo de engorroso, casi todas las soluciones de iduccion que he visto salen enmas de 3 lineas XD Saludos! Ahahaha no fue de pesao, es q creo q habia visto este problema y la Solucion involucraba esas cosas, y a mi como Opinion Personal no me gusta Induccion, lo encuentro engorrosos no se xd. PD: Dejemos de desvirtuar :x -------------------- CHAO.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2010, 07:04 PM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Lo que ocurre aquí es que inducción es sólo una herramienta para verificar la validez de la cosas. Una prueba con ese método no da, por lo general, información adicional de por qué motivo las cosas funcionan como funcionan. Ojalá Fatal haya respaldado la respuesta de anoche pues era considerablemente más corta e intuitiva que la que se ha publicado hoy. Sobra decir que la idea de la prueba aquella no radicaba en el uso de sumas telescópicas o de inducción. Consistía solamente en expresar de dos modos distintos una misma cantidad, igualar y QED. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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