Primera Maratón Olímpica 2010 - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias Olimpicas FMAT

14 Páginas:

1 2 3 > »

Reply to this topic

Start new topic

Primera Maratón Olímpica 2010, Saga bicentenario

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2010, 05:13 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Damas y caballeros, a petición de un usuario, se organizará una mini maratón olímpica. Esta maratón no será tan formal como la PSU del verano pero espero que sea entretenida. El formato será el siguiente: Yo comenzaré proponiendo el problema 1, y a continuación un usuario responde el propuesto. Si lo responde correctamente, entonces él debe proponer el problema 2, y así sucesivamente. Pero hay varias condiciones. Solamente deben participar estudiantes de media. Deben ser problemas olímpicos, no estilos de PSU ni de preuniversitario ni universitarios. Si un participante resuelve el n-ésimo problema, él propone el siguiente, pero el que propuso el n-ésimo problema no debe responder el n+1-esimo problema. Por ejemplo, yo propongo el primero, un usuario x propone el segundo pero yo no debo responder. Es necesario ocupar LaTex para las respuestas. El que propone un problema lo revisa. Además, queda a cargo del proponente colocar hints cuando lo considere pertinente ó cambiar el problema de la maratón si en un plazo razonable no hay respuesta satisfactoria. Cualquier duda por favor NO PREGUNTAR EN EL TOPIC. Envíeme un mp. En caso de haber dos soluciones distintas, queda a cargo del proponente validar la que considere pertinente. Si es necesario, se añadirán nuevas reglas Listo, let's go: $TEX: \textbf {Problema 1:} Sean $a,b,c$ reales positivos cualesquiera. Demuestre que: $$\dfrac{a^2+b^2}{ab+c^2}+\dfrac{b^2+c^2}{bc+a^2}+\dfrac{c^2+a^2}{ca+b^2}\ge 3$$$ Hint: Tal vez le pueda servir la Desigualdad de Nesbitt. Esta desigualdad está en Sector Olímpico--->Desigualdades--->Resueltos. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2010, 06:16 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Tenemos que $a^2+b^2\ge 2ab$, entonces $\dfrac {a^2+b^2}{ab+c^2}+\dfrac {a^2+c^2}{ac+b^2}+\dfrac {b^2+c^2}{bc+a^2}\ge \dfrac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+2c^2}+\dfrac {2a^2+2c^2}{a^2+c^2+2b^2}+\dfrac {2b^2+2c^2}{b^2+c^2+2a^2}$, entonces lo pedido es equivalente a probar que $\dfrac {a^2+b^2}{a^2+b^2+2c^2}+\dfrac {a^2+c^2}{a^2+c^2+2b^2}+\dfrac {b^2+c^2}{b^2+c^2+2a^2}\ge \dfrac {3}{2}$. Notemos $a^2+b^2=k$,$a^2+c^2=v$,$b^2+c^2=w$, entonces $2a^2=k+v-w$,$2b^2=k+w-v$,$2c^2=v+w-k$, entonces susituyendo $\dfrac {a^2+b^2}{a^2+b^2+2c^2}+\dfrac {a^2+c^2}{a^2+c^2+2b^2}+\dfrac {b^2+c^2}{b^2+c^2+2a^2}=\dfrac {k}{v+w}+\dfrac {v}{k+w}+\dfrac {w}{k+v}\ge \dfrac {3}{2}$ esto ultimo por Nesbitt. Demostrando lo pedido$ Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el May 2 2010, 06:34 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2010, 06:28 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ May 2 2010, 08:16 PM) $TEX: Tenemos que $a^2+b^2\ge 2ab$, entonces $\dfrac {a^2+b^2}{ab+c^2}+\dfrac {a^2+c^2}{ac+b^2}+\dfrac {b^2+c^2}{bc+a^2}\ge \dfrac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+2c^2}+\dfrac {2a^2+2c^2}{a^2+c^2+2b^2}+\dfrac {2b^2+2c^2}{b^2+c^2+2a^2}$, entonces lo pedido es equivalente a probar que $\dfrac {a^2+b^2}{a^2+b^2+2c^2}+\dfrac {a^2+c^2}{a^2+c^2+2b^2}+\dfrac {b^2+c^2}{b^2+c^2+2a^2}\ge \dfrac {3}{2}$. Lo que es Nesbitt.$ Solución correcta Pedantic Sólo dos aclaraciones a lo expuesto. Pedantic establece la desigualdad $TEX: $\dfrac{a^2+b^2}{c^2+ac}\ge \dfrac{2(a^2+b^2)}{2c^2+a^2+b^2}$$ ya que $TEX: $a^2+b^2\ge 2ab$$ por $TEX: $A\ge G$$ En la desigualdad final, a simple vista no parece Nesbitt pero tomando $TEX: $x=b^2+c^2$$ , $TEX: $y=c^2+a^2$$ , $TEX: $z=a^2+b^2$$ se ve que sí es. Ahora, atentos que Pedantic debe disparar. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2010, 06:31 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	io llegue a lo mismo q pedantyc, pero no se me ocurrio aplicar nesbit de esa manera, pense q el problema no podia ser tan facil, bueno ahora a esperar a q pedantyc lanze -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2010, 06:42 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \textbf {Problema 2:} Encuentre todas las pareja $a,b\in\mathbb{N}$, tales que $$a^2+b^2=2010$$.$ Razón de edición: Faltó indicar que éste es el p2. -F.C- -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2010, 06:48 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Como 3 divide a 2010, tenemos que 3 divide a $a^2+b^2$ y entonces 3 divide a $a$ y a $b$, pero entonces 9 divide a $a^2+b^2$, pero como 9 no divide a 2010, hay contradiccion, y por lo tanto no hay soluciones enteras$ -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2010, 06:57 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ May 2 2010, 07:48 PM) $TEX: Como 3 divide a 2010, tenemos que 3 divide a $a^2+b^2$ y entonces 3 divide a $a$ y a $b$, pero entonces 9 divide a $a^2+b^2$, pero como 9 no divide a 2010, hay contradiccion, y por lo tanto no hay soluciones enteras$ Solucion correcta, aunque te hubieses podido explicar un poco mas, notando que $TEX: $x^2\equiv 1,0(mod 3)$, entonces $1+1\equiv 0(mod 3)$contradiccion, $1+0\equiv 0(mod 3)$,contradiccion , o $0+0\equiv 0(mod 3)$. Por lo tanto $a,b\equiv 0(mod3)$$ Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el May 2 2010, 07:10 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2010, 07:15 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \textbf {Problema 3:} Dado cualquier natural N, demuestre la siguiente desigualdad:$ $TEX: $\sqrt{2 \sqrt{3 \sqrt{4... \sqrt{(N-1) \sqrt{N}}}}}<3$$ Hint: Utilize """""""""""""induccion""""""""""""" (notar que puse muchas comillas ) -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2010, 07:16 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ May 2 2010, 08:57 PM) Solucion correcta, aunque te hubieses podido explicar un poco mas, notando que $TEX: $x^2\equiv 1,0(mod 3)$, entonces $1+1\equiv 0(mod 3)$contradiccion, $1+0\equiv 0(mod 3)$,contradiccion , o $0+0\equiv 0(mod 3)$. Por lo tanto $a,b\equiv 0(mod3)$$ Como dato interesante, hay una "conocida" propiedad que señala lo siguiente. CITA $TEX: Sea $p$ un primo de la forma $4k+3$. Si $p\|x^2+y^2$, entonces $p\|x$ y $p\|y$$ Su prueba requiere un poco de manejo en residuos cuadráticos pero no es complicada -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2010, 02:05 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Para no enfriar la maraton, podre un hint: Hint: Cuando inducimos, lo hacemos generalmente de atras pa adelante, es decir probamos la proposicion para 1, luego para 2, para 3 y asi sucesivamente, en este caso acemos lo contrario, vamos de adelante para atras -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

« Posterior · Competencias Olimpicas FMAT · Anterior »

14 Páginas:

1 2 3 > »

Reply to this topic

Start new topic

2 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (2 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 21st December 2024 - 12:23 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.