Control 1 MA3401 Probabilidades

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Control 1 MA3401 Probabilidades, Porque soy ocioso.

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Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2010, 01:29 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Porque soy ocioso $TEX: \begin{center}<br />\textbf{MA3401-1 PROBABILIDADES}\\<br />\textbf{CONTROL 1}<br />\end{center}<br /><br />\noindent \bfseries{Problema 1}\\<br />\noindent \normalfont En un torneo de tenis en que participan $n$ jugadores en un formato de todos contra todos. Para un entero fijo $k<n$ una pregunta de interés es si es posible que al terminar el torneo, para todo conjunto $A$ de $k$ jugadores, exista entre los otros $n-k$ jugadores uno que haya derrotado a todos los miembros del conjunto $A$. Se probará que si:<br />$$1-\dfrac{1}{2}^k < \sqrt[n-k]{\dfrac{k!(n-k!)}{n!}}$$<br />Entonces existe una combinación de resultados que satisface la situación descrita.\\<br />Para probar lo anterior supondremos que el resultado de cada partido es aleatorio e independiente de los demás teniendo cada jugador probabilidad $1/2$ de ganar. Suponga además que cuenta con una lista de todos los subconjuntos de tamaño $k:\ A_1,A_2, ..., A_{\binom{n}{k}}$ y defina el evento $B_i$: "Ningún participante derrotó a todos los integrantes de $A_i$". Finalmente utilice la desigualdad de Boole para concluir.\\<br />\noindent \bfseries{HINT:} \normalfont Puede ser útil considerar los eventos $B_i^j$: "El participante $j$ derrotó a todos los integrantes del conjunto $A_i$".<br />$ $TEX: \noindent \bfseries{Problema 2: El coleccionista de coupones}\\<br />\noindent \normalfont Una persona esta juntando un album con $N$ (tipos de) láminas. Suponga que las láminas se compran de a una sin saber de cuál tipo es, y que los $N$ tiempos de láminas son equiprobables. Suponga además que los contenidos se sobres distintos son independientes.\\<br />Se probará que la probabilidad que que haya que comprar más de $n$ sobres para completar el album es igual a<br />$$\sum_{i=1}^{N-1} \binom{N}{i} \left( \dfrac{N-i}{N} \right)^n (-1)^{i+1}$$<br />Para esto, se sugiere definir $A_j$ como el evento "en los primeros $n$ sobres no hay láminas de tipo $j$". Relacione la probabilidad buscada con los eventos $A_j$.$ $TEX: \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}<br />\noindent \bfseries{Problema 3}\\<br />\noindent \normalfont Se quiere estimar la población total $N$ de cierta especie animal en un ecosistema. Para esto, se captura primero un número $r$ de individuos, y se marcan. Después de un año, se captura una cantidad $n$.<br />\begin{enumerate}<br />\item Calcule la probabilidad $P_k(N)$ de que en la segunda captura $k$ de los $n$ animales estén marcados.<br />\item Suponga que $k$ de los $n$ animales de la segunda captura estén marcados. Se considera que el numero $\hat{N}$ que maximiza $P_k (N)$ es un buen estimador de $N$ (esto es lo que en estadística se llama un "estimador de máximo de verosimilitud"). Para encontrar $\hat{N}$, muestre que $$\dfrac{P_k(N)}{P_k(N-1)} = \dfrac{(N-r)(N-n)}{N(N-r-n+k)}$$ y deduzca que $P_k(N)$ es creciente como función de $N$ ssi $N \leq \frac{rn}{k}$. Concluya el valor de $\hat{N}$ y dé una interpretación de este resultado.<br />\item Estime la cantidad $N$ de delfines en una región si se marcaron 10 y al año siguiente, 1 de 5 capturados estaban marcados.<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: \noindent \bfseries{Problema 4}\\<br />\noindent \normalfont Sebastián y Eduardo se baten a duelo. Las reglas dicen que deben tomar su arma y luego de dar 10 pasos disparan simultaneamente. Si ninguno es herido, se repite el procedimiento. Suponga que cada ronda es independiente de las demás y que Eduardo le achunta al blanco con probabilidad $P_E$ y Sebastián le achunta al blanco con probabilidad $P_S$. Calcule:\\<br />\indent a) la probabilidad de que Eduardo no reciba disparo.\\<br />\indent b) la probabilidad de que ambos duelistas reciban disparos.\\<br />\indent c) La probabilidad de que el duelo termine después de $n$ rondas.\\<br />\indent d) La probabilidad condicional de que el duelo termine después de $n$ rondas dado que Sebastián no recibió disparo.\\<br />\indent e) La probabilidad condicional de que el duelo termine después de $n$ rondas dado que ambos duelistas fueron alcanzados por un tiro.$ El control dura 3 horas y es bastante entretenido. El profesor del curso es Joaquín Fontbona. En el problema 2, cada sobre trae 1 lámina (qué estafa! xD) Hola de nuevo Acabo de darme cuenta que la cagué en la P4... maldita sea. Se me olvidaba decirlo. El control lo redacté tal cual como nos lo entregaron (ie: faltas de ortografía errores. etc.) Saludos! Mensaje modificado por Ictio el May 1 2010, 01:51 PM --------------------

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2010, 01:34 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	que bcn que subas el control Podrias subirte el de anaisis -------------------- blep

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2010, 02:42 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Se me olvidó decirlo.... Por favor muevan este tema donde corresponde (Igual sería bastante bueno que se hiciera un foro de Probabilidades y Estadística, al fin y al cabo casi todos -si es que no todos- tienen que tomar ese ramo ) --------------------

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2010, 02:43 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Ictio @ May 1 2010, 04:42 PM) Se me olvidó decirlo.... Por favor muevan este tema donde corresponde (Igual sería bastante bueno que se hiciera un foro de Probabilidades y Estadística, al fin y al cabo casi todos -si es que no todos- tienen que tomar ese ramo ) okey yo pediré el subforo, ahi lo muevo =) saludos -------------------- blep

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