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El valor minimo...., Resuelto por Pasten [Basico]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2005, 11:28 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Encuentre el valor minimo de la expresion z dada por: $TEX: z= \frac{p}{q}+\frac{q}{p}$ donde p y q son numeros enteros positivos. Buena suerte..en especial los que recien estan empezando -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Corecrasher	Sep 1 2005, 09:42 AM Publicado: #2
Invitado	Primero que nada sabemos que el menor entero positivo es el 0 , luego 1 ... etc z= p/q + q/p z=(p^2+q^2)/pq Notemos que si alguno de los 2 es 0 el numero seria indefinido , entonces el minimo valor que sigue es cuando los 2 son iguales a 1 quedandonos: z=1/1+1/1 z=2. Saludos

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2005, 10:49 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si bien se llega al resultado que es correcto, el desarrollo esta incorrecto , nada indica ni tampoco argumentas por que el misnimo se logra cuando p=q=1. basta notar con p=q , el valor es 2. esperamos una solucion. Francisco Muñoz Espinoza -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2005, 11:07 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: $z=\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=\frac{p^2+q^2}{pq}-2+2=\frac{p^2-2pq+q^2}{pq}+2=\frac{(p-q)^2}{pq}+2$\\<br />que es minimo cuando $p=q$ porque de otra forma $(p-q)^2>0$ aumentando el valor de $z$. luego, el minimo de $z$ es 2 alcanzado con $p=q$$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2005, 11:22 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Pasten @ Dec 24 2005, 02:07 AM) $TEX: $z=\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=\frac{p^2+q^2}{pq}-2+2=\frac{p^2-2pq+q^2}{pq}+2=\frac{(p-q)^2}{pq}+2$\\<br />que es minimo cuando $p=q$ porque de otra forma $(p-q)^2>0$ aumentando el valor de $z$. luego, el minimo de $z$ es 2 alcanzado con $p=q$$ Solucion correctisima...solo cabe destacar que estamos usando $TEX: $p,q>0$$ Se agradece el aporte y ya podemos pasar este problema a la seccion de problemas resueltos... Te recomiendo tratar de hacer este problema: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=1380 Veamos que tal te va...cualquier duda solo hacerla,que bienvenida sera. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2007, 11:55 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	. Mensaje modificado por iMPuRe el Jun 26 2007, 11:56 PM -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 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iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2007, 11:56 PM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(iMPuRe @ Jun 27 2007, 12:55 AM) Por $TEX: $MA \ge MG$$ se tiene: $TEX: $ \displaystyle \frac{\frac{p}{q}+\frac{q}{p}}{2}= \frac{z}{2} \ge \sqrt{\frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p}} = 1$$ . -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 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juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 20 2014, 07:51 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	otra supongamos que $TEX: $p+q=k$$ de donde $TEX: $p=k-q$$ reemplazamos... $TEX: $z=\dfrac{p^{2}+(k-p)^{2}}{p(k-p)}=\dfrac{2p^{2}-2kp+k^{2}}{-p^{2}+kp}$$ para que z sea el mínimo, el numerador debe ser el mínimo y el denominador sebe ser el máximo, luego, usando el vértice de la función cuadrática, se tiene: $TEX: mín$(2p^{2}-2kp+k^{2})=\dfrac{k^{2}}{2}$$ $TEX: máx$(-p^{2}+kp)=\dfrac{k^{2}}{4}$$ dividiendo, se obtiene $TEX: $z=2$$ --------------------

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