 Un máximo, Bien especial |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Cálculo > Cálculo en Varias Variables  |
  Apr 20 2010, 12:39 AM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
-------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto. |
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Apr 20 2010, 10:24 AM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo:  |
![TEX: <br />$ $\\<br />Una soluci\'on ol\'impica (nah, es con medias nomas xd):\\<br />$ $\\<br />Observando que $y_{i}=x_{i}^{2}$ son todos positivos (o nulos algunos) usamos que<br />\begin{eqnarray*}<br />\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}y_{i}}\leq \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}}{n}<br />\end{eqnarray*}<br />Con igualdad ssi $y_{i}=y_{j}\ \forall i,j\in\overline{1,n}$\\<br />Adem\'as la funci\'on $f(x)=x^{n}$ es creciente sobre $x\geq 0$ para cualquier $n$; entonces el mayor valor del producto pedido es en efecto $\left(\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}}{n}\right)^{n}=r^{2n}/n$ y se alcanza cuando $x_{i}=r/\sqrt{n}$ para todas las $i$.<br />](./tex/2c326f5ceb512d17c6530f9c7d0eb096.png)
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Apr 20 2010, 04:40 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo  Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463 |
Parecido a lo de Kaissa pero con menos rollo. Por MG-MA el producto es máximo cuando los sumandos de
 son todos iguales. Mucha lata por Lagrange.
-------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau
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Apr 20 2010, 04:47 PM
Publicado:
#4
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
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![TEX: $\\$Maximize: \[f(x_1,\hdots, x_n) = (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 \] sobre: \[ D = \{ (x_1,\hdots, x_n) \in \mathbb{R}^n \big/ x_1^{\ 2}+\hdots+x_n^{\ 2} = r^2 \} \]<br /><br />$\\$Solución: Usando multiplicadores de Lagrange se tiene:<br /><br />\[ \nabla f\left(\vec{p}\right) = \lambda \nabla g\left(\vec{p}\right) \]<br />Con \[g(x_1, \hdots , x_n) = x_1^{\ 2}+\hdots+x_n^{\ 2} - r^2 = 0 \quad \forall \vec{p} \in D \]<br />$ \Rightarrow \\ $ <br />$\\ \dfrac{\partial}{\partial x_1} \to 2(x_1\cdot \hdots x_n)(x_2 \cdot \hdots \cdot x_n) = 2\lambda x_1 \\ \\<br />\dfrac{\partial}{\partial x_2} \to 2(x_1\cdot \hdots x_n)(x_1\cdot x_3 \cdot \hdots \cdot x_n) = 2\lambda x_2 \\ <br />\vdots \\<br />\dfrac{\partial}{\partial x_n} \to 2(x_1\cdot \hdots x_n)(x_1 \cdot \hdots \cdot x_{n-1}) = 2\lambda x_n \\ $<br /><br />$\\$Notar que si algun $x_k=0 \quad \forall k=1\hdots n$ no se maximiza, por lo que la descartamos. Con esto: Multiplicando por $x_k$ correspondiente se tiene:<br /><br />$\\ \dfrac{\partial}{\partial x_1}\to (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 = \lambda x_1^{\ 2} \\ \\<br />\dfrac{\partial}{\partial x_2}\to (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 = \lambda x_2^{\ 2} \\<br />\vdots \\<br />\dfrac{\partial}{\partial x_n}\to (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 = \lambda x_n^{\ 2}$<br /><br />$\\$Luego sumando todas las ecuaciones se tiene:<br />\begin{align*} n(x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 &= \lambda(x_1^{\ 2}+ \hdots +x_n^{\ 2}) \\ &= \lambda r^2 \end{align*}](./tex/35eb1df84b59bd4b2802aff4ed4df946.png)
![TEX: $\\$ \begin{center}$\Rightarrow \lambda = \dfrac{n(x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2}{r^2}$ \end{center} $\\$<br />Luego sustituyendo $\lambda$ en cualquier $\dfrac{\partial}{\partial x_k}$ :<br /><br />$\\ \Rightarrow (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 = \dfrac{n(x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2}{r^2} x_k^{\ 2} \\<br />\Rightarrow x_k^{\ 2} = \dfrac{r^2}{n} \to x_k = \dfrac{r}{\sqrt{n}}\quad \forall k=1\hdots n \\ \\<br />\Rightarrow \vec{p} = \left(\dfrac{r}{\sqrt{n}},\hdots ,\dfrac{r}{\sqrt{n}}\right) \\ $<br />$\\$ $\Rightarrow f(\vec{p}) = \left(\dfrac{r^2}{n}\right)^n$ es el máximo.<br /><br />$\\$Es decir:<br /><br />$\\ \left(\dfrac{r^2}{n} \right)^n = \left ( \dfrac{x_1^{\ 2}+\hdots+x_n^{\ 2}}{n} \right)^n \ge (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 \\ \\<br />\Rightarrow \dfrac{x_1^{\ 2}+\hdots+x_n^{\ 2}}{n} \ge \sqrt[n]{x_1^{\ 2}\cdot \hdots \cdot x_n^{\ 2}} \\ \\<br />\Rightarrow MA \ge MG$ Para cualquier real positivo, considerando $a_k = x_k^{\ 2}$](./tex/b393d9c4a631d9b68640a397df02814e.png)
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Apr 20 2010, 04:59 PM
Publicado:
#5
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Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463 |
Mucha lata también la prueba de MG-MA por Lagrange.
-------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau
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May 3 2010, 04:54 PM
Publicado:
#6
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad:  Sexo: |
Para la interpretación:
Noten que la restricción es una n-esfera centrada en el origen de radio r. |
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