 I1 Cálculo III, 1S 2010 |
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| Gastón Burrull |
 Apr 19 2010, 08:30 PM
Publicado:
#1
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Invitado  |
![TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1630 - Cálculo III\\<br />Interrogación I - Lunes 19 de Abril de 2010 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea<br />\[f(x,y)=\begin{cases}<br />y\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}&\text{si }(x,y)\neq 0\\<br />0&\text{si }(x,y) = 0\\<br />\end{cases}.\]<br />\begin{enumerate}<br />\item Calcule las derivadas parciales $f_x(x,y),f_y(x,y)$ en todo punto $(x,y)$.<br />\item Calcule si existen $f_{xy}(0,0),f_{yx}(0,0)$.<br />\end{enumerate}<br />\item <br />\begin{enumerate}<br />\item Sean $f(x,y)=x^2+y^2$ y $g(x,y)=e^{xy}$. Determine los puntos $(x,y)$ donde la derivada direccional de $f$ en la dirección de máximo crecimiento de $g$ es igual a la derivada direccional de $g$ en la dirección de máximo crecimiento de $f$.<br />\item Sea $f(u,v,w)$ una función con derivadas parciales continuas de orden 1 y 2, y sea $g(x,y)=f(x+y,x-y,xy)$. Calcule $g_{xx}+g_{yy}$ en términos de derivadas de $f(u,v,w)$.<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate}<br />\item Determine el valor máximo y mínimo de $\alpha x+\beta y+\gamma z$ si<br />\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.\]<br />\item Determine los puntos críticos y su naturaleza para<br />\[f(x,y,z)=x^3-xz+yz-y^3+2z^3.\]<br />\end{enumerate}<br />\item Considere las superficies en $\mathbb{R}^3$ dadas por las ecuaciones<br />\[y=f(x)\qquad,\qquad z^2+2xz+y=0.\]<br />\noindent Determine la función $f(x)$ si se sabe que ambas superficies tienen el mismo plano tangente en todo punto donde se intersectan.<br />\end{enumerate}<br />](./tex/9f6ebb1c3efca3fc2d33a076636d1928.png) Disfrútenla 
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