C2 Cálculo III s1-2010

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C2 Cálculo III s1-2010, Martín Chuaqui

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felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2010, 11:08 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br />MAT1630 - Cálculo III\\<br />Control 2 - Martes 14 de Abril de 2010\end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $u=u(x,y)$ una función con derivadas parciales continuas de orde 1 y 2, y considere:<br />\[ v(s,t)=u(e^s\cos(t),e^s\sin(t)).\]<br />Pruebe que \[ v_{ss}+v_{tt}=e^{2s}(u_{xx}+u_{yy}). \]<br />\item Determine el valor máximo y mínimo de $x^2+y^2+z$ en la región $x^2+y^2+z^2\leq 1$, $z \geq 0$.<br />\end{enumerate}$ La pregunta 2 era bonita, la 1, ni hablar xd. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2010, 11:43 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pregunta 2: Es fácil ver que el gradiente de la función no se anula en ningún punto del interior, por lo que no hay puntos críticos dentro. Ahora, analizando la frontera, tenemos que $TEX: $x^2+y^2+z^2=1 \Leftrightarrow x^2+y^2=1-z^2$$ con lo que nuestra función queda convertida en $TEX: $w(z)=1-z^2+z$$ , función que al derivar e igualar a cero, tiene un máximo en $TEX: $z=\dfrac{1}{2}$$ , con lo que $TEX: $x^2+y^2=\dfrac{3}{4}$$ y por lo tanto, $TEX: $x^2+y^2+z\leq \dfrac{5}{4}$$ . Para el máximo, dado que $TEX: $x^2,y^2\geq 0\forall x,y \in \mathbb{R}$$ y por hipótesis $TEX: $z\geq 0$$ , el mínimo $TEX: $x^2+y^2+z$$ es 0. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2010, 11:46 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $$\text{P2}$$$ $TEX: $$\text{Para hacerla corta}\text{, voy a usar Lagrange (estaba prohibido en el control)}$$$ $TEX: $$\text{Sea }f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z,\text{ tenemos que:}$$$ $TEX: $$\nabla f(x,y,z)=(2x,2y,1)\ne (0,0,0)\text{ para todo (}x,y,z\text{)}\text{. No hay puntos criticos interiores}\text{.}$$$ $TEX: $$\text{Tenemos 2 restricciones:}$$$ $TEX: $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\text{ }z\ge 0\text{ que es la semiesfera superior}\text{.}$$$ $TEX: $$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1,\text{ }z=0\text{ }\Rightarrow x^{2}+y^{2}\le 1\text{ que es el circulo de la base (la tapa)}\text{.}$$$ $TEX: $$\text{Para la semiesfera: }\varphi (x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$$$ $TEX: $$\text{Por Lagrange: }$$$ $TEX: $$\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla \varphi (x,y,z)$$$ $TEX: $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\text{ Entonces:}$$$ $TEX: $$(2x,2y,1)=\lambda (2x,2y,2z)$$$ $TEX: $$2x=2\lambda x\Rightarrow x=\lambda x$$$ $TEX: $$2x=2\lambda x\Rightarrow x=\lambda x$$$ $TEX: $$1=2\lambda z\Rightarrow \lambda \ne 0\text{ pues }1\ne 0\Rightarrow \lambda =1,\text{ luego: }$$$ $TEX: $$x=x,y=y,\frac{1}{2}=z_{}\Rightarrow x^{2}+y^{2}=\frac{3}{4}\text{ Curva de nivel C y reemplazando en f:}$$$ $TEX: $$f(C,z_{})=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$$$ $TEX: $$\text{Para el circulo tapa}\text{, lo hare directo:}$$$ $TEX: $$\text{Si 0}\le x^{2}+y^{2}\le 1,\text{ }z=0\text{ entonces sea: }x^{2}+y^{2}=a,\text{ con }a\in [0,1]$$$ $TEX: $$\text{Reemplazando en f:}$$$ $TEX: $$f(x,y,z)=a+0=a,\text{ como }0\le a\le 1\Rightarrow 0\le f(x,y,z)\le 1$$$ $TEX: $$\text{El maximo valor que toma f en esta frontera es 1 y el minimo es 0}\text{.}$$$ $TEX: $$\text{Finalmente}\text{, el maximo global de f es }\frac{5}{4}\text{ en la curva de nivel C con }z=\frac{1}{2}$$$ $TEX: $$\text{El minimo global de f es 0 con (x}\text{,y}\text{,z)=(0}\text{,0}\text{,0) en el circulo tapa}\text{.}$$$ -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

Phi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2010, 11:58 AM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 161 Registrado: 11-October 07 Miembro Nº: 11.187 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Hoy no es miercoles?$ Mensaje modificado por Phi el Apr 14 2010, 11:59 AM --------------------

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2010, 01:02 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	bueno, encuentro razon a que no se pueda usar lagrange, porque no es necesario y de hecho es super visual el hecho de que el problema se reduzca a una cuadratica. el mínimo es refácil ver que es 0 porque primero pruebas que x^2+y^2+z> o igual a 0 (obvio) y despues hallas una terna en el dominio que lleve justo al 0. lo mismo para el máximo y casi todos estos ejercicios de optimizacion donde "no puedes" irte por el camino facil, es mejor sacarlos así: demuestras una cota y luego hallas una combinacion de valores que lleven a esa cota. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

darkmaster Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2010, 05:19 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 513 Registrado: 19-March 08 Miembro Nº: 17.348 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Creo que no alcanzó a entrar que x=e^s cos(t) & y=e^s sin(t) Y que u=u(x,y) y v(s,t) con x(s,t) & y(s,t) Sorry por subirlo así que no se usar latex XD Mensaje modificado por darkmaster el Apr 14 2010, 05:20 PM -------------------- HAGO CLASES PARTICULARES DE MATES PSU CONSULTAR VIA MP

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