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C1 Álgebra y Geometría, 1S 2010

Tela Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2010, 08:30 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.032 Registrado: 25-March 09 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 46.018 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\begin{center}<br />\noindent MAT1103 - Álgebra y Geometría\\<br />Control 1 - Martes 13 de Abril de 2010 \end{center}<br />\textbf{Fila A}<br />\begin{enumerate}<br />\item Resuelva la inecuación<br />\[2\left\|x\right\|+\left\|x-4\right\|-7 > 2 \sqrt{ 2(x-5)(x+2) }.\]<br />\item Demuestre que la función<br />\[f(x)=x^3-5x-\dfrac{2}{x}\]<br />es creciente en [1,+$\infty$).<br /><br />\textbf{Ayuda:} Use el hecho que si $a,b>0$, entonces $a^2 +b^2 > 2ab.$<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: <br />\textbf{Fila B}<br />\begin{enumerate}<br />\item Resuelva la inecuación<br />\[2\left\|x\right\|+\left\|x-3\right\|-3 > 2 \sqrt{ 2(x-3)(x+1) }.\]<br />\item Demuestre que la función<br />\[f(x)=x^3-4x-\dfrac{1}{x}\]<br />es creciente en [1,+$\infty$).<br /><br />\textbf{Ayuda:} Use el hecho que si $a,b>0$, entonces $a^2 +b^2 > 2ab.$<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: Tiempo: 70 minutos.$

luuchiitoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2010, 08:42 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.832 Registrado: 26-October 07 Desde: concepción Miembro Nº: 11.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	yo tengo una duda,siendo que tengo este ramo pero aún no vamos en esa materia... es "valido" usar concepto de derivada para el ejercicio 2 ? -------------------- -la inteligencia no es un privilegio, sino un don en benefio de los hermanos... -un gran don conlleva una gran responzabilidad... -un libro puede saber más que un estudiante, pero es mejor el estudiante, ya que el estudiante es capaz de razonar y pensar (fuera de lo espiritual que también es importante)... Paz y Bien...=)

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2010, 08:47 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(luuchiitoo @ Apr 13 2010, 09:42 PM) yo tengo una duda,siendo que tengo este ramo pero aún no vamos en esa materia... es "valido" usar concepto de derivada para el ejercicio 2 ? No. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2010, 10:02 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	1. Fila A $TEX: $2\|x\|+\|x-4\|-7>2\sqrt{2(x-5)(x+2)}$$ Primero restringimos $TEX: $R: (x-5)(x+2)\ge 0$ $\Rightarrow R:(-\infty,-2]\cup[5,\infty+)$$ $TEX: Luego deacuerdo a $R$ analizaremos 2 casos:$ $TEX: $C_1:x\in(-\infty,-2]$$ $TEX: $-2x-x+4-7>\sqrt{8x^2-24x-80}$$ $TEX: $-3x-3>\sqrt{8x^2-24x-80}$ /$^2$$ $TEX: $x^2+42x+89>0$$ $TEX: luego $x=-21+-4\sqrt{22}$ $\Rightarrow S_{pC_1}=(-\infty,-21-4\sqrt{22}]\cup[-2+4\sqrt{22},\infty+)$$ $TEX: $S_{fC_1}=(-\infty,-21-4\sqrt{22}]\cup[-2+4\sqrt{22},-2]$$ $TEX: $C_2:x\in[5,\infty+)$$ $TEX: $2x+x-4-7>\sqrt{8x^2-24x-80}$$ $TEX: $3x-3>\sqrt{8x^2-24x-80}$$ $TEX: $x^2-42x+201>0$$ $TEX: luego $x=21+-4\sqrt{15}\Rightarrow S_{pC_2}=[-\infty,21-4\sqrt{15})\cup(21+4\sqrt{15},\infty+)$$ $TEX: $S_{fC_2}=[5,21-4\sqrt{15})\cup(21+4\sqrt{15},\infty+)$$ $TEX: $S=(-\infty,-21-4\sqrt{22}]\cup[-2+4\sqrt{22},-2]\cup[5,21-4\sqrt{15})\cup(21+4\sqrt{15},\infty+)$$ Debo decir que bastante feo el problemaaa x(! mas de alguna vez tube que recurrir a mi calculadoraa para verificar resultados xdd saludos -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

Tela Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2010, 06:29 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.032 Registrado: 25-March 09 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 46.018 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(walatoo @ Apr 14 2010, 11:02 PM) Debo decir que bastante feo el problemaaa x(! mas de alguna vez tube que recurrir a mi calculadoraa para verificar resultados xdd saludos Para eso son los 70 minutos.

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2010, 07:31 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $x\geq y$, entonces<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />f(x)\geq f(y)\iff x^3-5x-\frac{2}{x}\geq y^3-5y-\frac{2}{y}\iff (x^3-y^3)-5(x-y)-2\left(\frac{y-x}{xy}\right)\geq 0\\<br />\iff (x-y)\left(x^2+y^2+xy-5+\frac{2}{xy}\right)\geq 0<br />\iff x^2+y^2+xy-5+\frac{2}{xy}\geq 0\\<br />\Leftarrow 3x^2y^2-5xy+2\geq 0<br />\iff (3xy-2)(xy-1)\geq 0. \qquad \square<br />\end{aligned}\end{equation}$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Tela Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 16 2010, 07:33 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.032 Registrado: 25-March 09 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 46.018 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sean $x,y \geq 1$ tal que $f(x) \geq f(y)$, entonces$ $TEX: $x^3 -4x -\dfrac{1}{x} \geq y^3 -4y -\dfrac{1}{y}$$ $TEX: $x^3 - y^3 -4x +4y + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} \geq 0$$ $TEX: $\left( x - y \right) \left( x^2 + xy + y^2 -4 + \dfrac{1}{xy} \right) \geq 0$$ $TEX: Como, $\left( \sqrt{xy} - \dfrac{1}{\sqrt{xy}} \right )^2 \geq 0 \Longrightarrow xy + \dfrac{1}{xy} \geq 2$$ $TEX: Y $x \geq 1$ e $y \geq 1$, tenemos que $x^2 + y^2 \geq 2$$ $TEX: Por lo tanto, $x^2 + y^2 + xy + \dfrac{1}{xy} \geq 4$$ $TEX: De $\left( x - y \right) \left( x^2 + xy + y^2 -4 + \dfrac{1}{xy} \right) \geq 0$ , necesariamente $x - y \geq 0$$ $TEX: Finalmente, $x \geq y$ con $f(x) \geq f(y)$, $f$ es creciente en el intervalo pedido.$

ErnestoJ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 10 2014, 06:14 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 6-October 13 Miembro Nº: 123.055 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Apr 15 2010, 07:31 PM) $TEX: \noindent Sea $x\geq y$, entonces<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />f(x)\geq f(y)\iff x^3-5x-\frac{2}{x}\geq y^3-5y-\frac{2}{y}\iff (x^3-y^3)-5(x-y)-2\left(\frac{y-x}{xy}\right)\geq 0\\<br />\iff (x-y)\left(x^2+y^2+xy-5+\frac{2}{xy}\right)\geq 0<br />\iff x^2+y^2+xy-5+\frac{2}{xy}\geq 0\\<br />\Leftarrow 3x^2y^2-5xy+2\geq 0<br />\iff (3xy-2)(xy-1)\geq 0. \qquad \square<br />\end{aligned}\end{equation}$ ¿Cómo rayos pasaste de la antepenúltima expresión a la penúltima?

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 10 2014, 07:05 PM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(ErnestoJ @ Jan 10 2014, 06:14 PM) ¿Cómo rayos pasaste de la antepenúltima expresión a la penúltima? haz suma de fracciones en el miembro izquierdo aunq no estoy muy seguro ahora xd Mensaje modificado por nacharon el Jan 10 2014, 07:18 PM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 10 2014, 08:06 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(ErnestoJ @ Jan 10 2014, 06:14 PM) ¿Cómo rayos pasaste de la antepenúltima expresión a la penúltima? Usé la ayuda que te daban. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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