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ECT-Maratón, Maratón de ecuaciones trigonométricas

Jack Sparrow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2013, 12:50 PM Publicado: #71
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 6-November 09 Desde: El Perla negra Miembro Nº: 61.590 Colegio/Liceo:	CITA(Abu-Khalil @ Jan 26 2008, 02:28 PM) $TEX: \begin{equation}\begin{aligned}<br />\sin{2x}&=\sqrt{2}\sin{x}+\cos{2x}\\<br />2\sin{x}\cos{x}&=\sqrt{2}\sin{x}+\cos^2{x}-\sin^2{x}\\<br />2\sin{x}\cos{x}&=\sqrt{2}\sin{x}+2\cos^2{x}-1\\<br />2\sin{x}\cos{x}-\sqrt{2}\sin{x}&=(\sqrt{2}\cos^2{x}-1)(\sqrt{2}\cos^2{x}+1)\\<br />\sqrt{2}\sin{x}(\sqrt{2}\cos{x}-1)&=(\sqrt{2}\cos^2{x}-1)(\sqrt{2}\cos^2{x}+1)\\<br />(\sqrt{2}\cos{x}-1)(\sqrt{2}\sin{x}-\sqrt{2}\cos{x}-1)&=0\\<br />\Longrightarrow \sqrt{2}\cos{x}-1=0 \ &\lor \ \sqrt{2}\sin{x}-\sqrt{2}\cos{x}-1=0\\<br />\cos{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ &\lor \ \sqrt{2}(\sin{x}-\cos{x})=1\\<br />x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi K \ \lor \ x=\dfrac{7\pi}{4}+2\pi K \ &\lor \ \sin{x}-\cos{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\<br />&\lor \ \sin{x}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{1-sin^2{x}}\\<br />&\lor \ 2\sin^2{x}-\sqrt{2}\sin{x}-\dfrac{1}{2}=0\\<br />&\lor \ \sqrt{2}\sin{x}=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}\\<br />&\lor \ \sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}(1\pm\sqrt{3})}{4}\\<br />\boxed{x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi K} \ \lor \ \boxed{x=\dfrac{7\pi}{4}+2\pi K} \ &\lor \ \boxed{x=\dfrac{3\pi}{8}+2\pi K} \ \lor \ \boxed{x=-\dfrac{\pi}{8}+2\pi K},\ con\ K\in\mathbb{Z}\\<br />\end{aligned}\end{equation}$ Estarán bien las soluciones $TEX: $$x=\frac{3\pi }{8}+2\pi k$$ \\ $$x=-\frac{\pi }{8}+2\pi k$$<br />$ ? Creo que se equivoco al final al encontrar los ángulo. El desarrollo estaría bien segun YO xD.

master_c	May 26 2013, 01:05 PM Publicado: #72
Invitado	en lo personal no me gusta hacer $TEX: $$\cos x = \sqrt {1 - \sin ^2 x} $$$ como lo hizo abukalil, debiese ser $TEX: $$\cos x = \pm \sqrt {1 - \sin ^2 x} $$$ aunque no afecta pues eleva al cuadrado despues, creo que se equivoco en la parte finakl yo hubiese hecho $TEX: $$<br />\frac{1}<br />{{\sqrt 2 }} = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{1}<br />{{\sqrt 2 }}\sin x - \frac{1}<br />{{\sqrt 2 }}\cos x} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} + 2n\pi } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }<br />{4} + 2n\pi } \right)\cos x} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br /> = \sqrt 2 \sin \left( {x - \left( {\frac{\pi }<br />{4} + 2n\pi } \right)} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br />x = \frac{{5\pi }}<br />{{12}} + 2n\pi \vee x = \frac{{2\pi }}<br />{{24}} - \pi + 2n\pi = - \frac{{11\pi }}<br />{{12}} + 2n\pi <br />$$$ que es lo que arroja http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%2...1%2Fsqrt%282%29 Mensaje modificado por master_c el May 26 2013, 01:40 PM

master_c	May 26 2013, 04:43 PM Publicado: #73
Invitado	para los que quieran resolver, en este blog hay varios ejercicios de trigonometria http://www.artofproblemsolving.com/blog/53581

master_c	May 26 2013, 08:22 PM Publicado: #74
Invitado	CITA(master_c @ May 26 2013, 12:38 PM) Propongo encontrar todos los enteros positivos n tales que $TEX: $$<br />\cos \frac{\pi }<br />{n}\cos \frac{{2\pi }}<br />{n}\cos \frac{{3\pi }}<br />{n} = \frac{1}<br />{{n + 1}}<br />$$$ hint no ver [manipular la expresion y ver que pasa si $TEX: $$n \geqslant ...$$$

master_c	May 31 2013, 01:00 PM Publicado: #75
Invitado	debido a que se detuvo, dare otro hint no ver si no quiere ayuda ...dejar todo en terminos de tangente

master_c	Jun 3 2013, 10:16 PM Publicado: #76
Invitado	Demuestre que $TEX: $$<br />\cos ^7 x + \cos ^7 \left( {x + \frac{2}<br />{3}\pi } \right) + \cos ^7 \left( {x + \frac{4}<br />{3}\pi } \right) = \frac{{63}}<br />{{64}}\cos 3x<br />$$$ donde x es un numero real

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2013, 01:33 PM Publicado: #77
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ Jun 3 2013, 10:16 PM) Demuestre que $TEX: $$<br />\cos ^7 x + \cos ^7 \left( {x + \frac{2}<br />{3}\pi } \right) + \cos ^7 \left( {x + \frac{4}<br />{3}\pi } \right) = \frac{{63}}<br />{{64}}\cos 3x<br />$$$ donde x es un numero real Por: (Exponente impar) $TEX: \[cos^{n}\theta =\frac{2}{2^{n}}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}\binom{n}{k}cos[(n-2k)\theta ]\]$ Entonces: Escribiré 7-2k como "u" para ahorrar espacio xd $TEX: \[\frac{2}{2^{7}}\sum_{k=0}^{3}\binom{7}{k}cos(ux)+\frac{2}{2^{7}}\sum_{k=0}^{3}\binom{7}{k}cos\left (u\left (x+\frac{2\pi }{3} \right ) \right )+\frac{2}{2^{7}}\sum_{k=0}^{3}\binom{7}{k}cos\left (u\left (x+\frac{4\pi }{3} \right ) \right )\]<br />$ $TEX: \[\frac{1}{2^{6}}\sum_{k=0}^{3}\binom{7}{k}\left [cos(ux)+cos\left (u\left (x+\frac{2\pi }{3} \right ) \right )+cos\left (u\left (x+\frac{4\pi }{3} \right ) \right ) \right ]\]$ Sumando el primer cos con el tercer cos $TEX: \[\frac{1}{2^{6}}\sum_{k=0}^{3}\binom{7}{k}\left [2\, cos\left (u\left (x+\frac{2\pi }{3} \right ) \right )cos\left (\frac{-2\pi }{3}u \right )+cos\left (u\left (x+\frac{2\pi }{3} \right ) \right )\right ]\]$ $TEX: \[\frac{1}{64}\sum_{k=0}^{3}\binom{7}{k}cos\left ((7-2k)\left (x+\frac{2\pi }{3} \right ) \right )\left [2\, cos\left (\frac{-2\pi }{3}(7-2k) \right )+1\right ]\]$ Notar que: $TEX: \[2\, cos\left (\frac{-2\pi }{3}(7-2k) \right )+1 =0\]$ $TEX: \[\frac{-2\pi }{3}(7-2k) =Arccos\left (-\frac{1}{2} \right )\]$ $TEX: \[\frac{-2\pi }{3}(7-2k) =\pm \frac{2\pi }{3}+2c\pi \]$ $TEX: \[7-2k =\mp1 - 3c \]$ (c en Z) $TEX: \[7-2k =\mp1 - 3c \rightarrow \begin{cases}<br />2k=8+3c & \text{ Para (k, c) }: (1, -2) \\ <br />2k=6+3c & \text{ Para (k, c) }: (0,-2),(3,0)\\ <br />\end{cases}\]$ Significa que: $TEX: \[Para\;k=0,1,3\;\;\rightarrow \;2\, cos\left (\frac{-2\pi }{3}(7-2k) \right )+1 =0\]$ Por lo tanto la sumatoria es igual a: $TEX: \[ \frac{1}{64}\binom{7}{2}cos\left (3\cdot \left (x+\frac{2\pi }{3} \right ) \right )\left [2\, cos\left (\frac{-2\pi }{3}\cdot 3\right )+1\right ]\]$ $TEX: \[\frac{1}{64}\cdot \frac{7!}{5!\, 2!}\cdot cos(3x+2\pi )\cdot [2\cdot cos(-2\pi )+1]\]$ $TEX: \[\frac{1}{64}\cdot 21\cdot cos(3x)\cdot [3]=\frac{63}{64}cos(3x)\]$ ----------------------------------------------------------------- Propongo: $TEX: \[Si\;\;tan(\beta )=\frac{n\, sen(\alpha) cos(\alpha) }{1-n\, sen^{2}(\alpha )}\]$ $TEX: \[Pruebe\;\;que:\;\;\;tan(\alpha -\beta )=(1-n)\, tan(\alpha )\]$ Mensaje modificado por Coto-kun el Jun 4 2013, 01:37 PM --------------------

master_c	Jun 4 2013, 08:07 PM Publicado: #78
Invitado	CITA(Coto-kun @ Jun 4 2013, 01:33 PM) ----------------------------------------------------------------- Propongo: $TEX: \[Si\;\;tan(\beta )=\frac{n\, sen(\alpha) cos(\alpha) }{1-n\, sen^{2}(\alpha )}\]$ $TEX: \[Pruebe\;\;que:\;\;\;tan(\alpha -\beta )=(1-n)\, tan(\alpha )\]$ no he revisado tu respuesta pero $TEX: $$<br />\tan \left( {A - B} \right) = \frac{{\tan A - \tan B}}<br />{{1 + \tan A\tan B}} = \frac{{\left( {1 - n\sin ^2 A} \right)\tan A - n\sin A\cos A}}<br />{{1 - n\sin ^2 A + n\sin A\cos A\tan A}}<br />$$$ $TEX: $$<br /> = \frac{{1 - n\sin ^2 A - n\sin A\cos A\cot A}}<br />{{1 - n\sin ^2 A + n\sin A\cos A\tan A}}\tan A = \frac{{1 - n\sin ^2 A - n\cos ^2 A}}<br />{{1 - n\sin ^2 A + n\sin ^2 A}}\tan A = \left( {1 - n} \right)\tan A<br />$$$ propongo $TEX: $$<br />\sin \frac{{\pi \sqrt x }}<br />{4} + \cos \frac{{\pi \sqrt {2 - x} }}<br />{4} = \sqrt 2 <br />$$$ fuente : Olimpiada de matematica Albania 2011

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2013, 08:48 PM Publicado: #79
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ Jun 4 2013, 08:07 PM) propongo $TEX: $$<br />\sin \frac{{\pi \sqrt x }}<br />{4} + \cos \frac{{\pi \sqrt {2 - x} }}<br />{4} = \sqrt 2 <br />$$$ fuente : Olimpiada de matematica Albania 2011 $TEX: \[Como\;\;\;\;x>0\;\;\;\;\;\wedge \;\;\;\;\;2-x>0\]$ Significa que $TEX: \[0<x<2\]$ (como no incluye ni el 0 ni el 2 no se pueden concluir casos para cuando Sen=0, Cos=0,Sen=1,Cos=1) Ya que Sen(45°)+Cos(45°)=sqrt(2) claramente: $TEX: \[\sqrt{x}=1\;\;\;\;\;\;\;\wedge \;\;\;\;\;\;\;\;\sqrt{2-x}=1\]$ $TEX: \[\therefore \;\;\;\;x=1\]$ -------------------------- Dejo el puesto para que alguien más proponga Mensaje modificado por Coto-kun el Jun 4 2013, 08:52 PM --------------------

master_c	Jun 4 2013, 08:58 PM Publicado: #80
Invitado	habrá algún complejo que cumpla ?

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