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ECT-Maratón, Maratón de ecuaciones trigonométricas

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2013, 12:08 AM Publicado: #61
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{obviamente tiene que ser un }}x{\text{ tal que:}} \hfill \\<br /> {\text{sin}}\left( {\pi \sqrt x } \right) = \sin \left( {\pi \sqrt {x - 6} } \right) = \pm 1 \hfill \\<br /> {\text{sean }}m,n \in \mathbb{Z}{\text{ tal que}} \hfill \\<br /> \pi \sqrt x = \pm \frac{\pi }{2} + 2n\pi \hfill \\<br /> \pi \sqrt {x - 6} = \pm \frac{\pi }{2} + 2m\pi \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \hfill \\<br /> \sqrt x = \pm \frac{1}{2} + 2n \hfill \\<br /> \sqrt {x - 6} = \pm \frac{1}{2} + 2m \hfill \\<br /> x - 6 = \frac{1}{4} \pm 2m + 4{m^2} \hfill \\<br /> x = \frac{{25}}{4} \pm 2m + 4{m^2} = \frac{1}{4} \pm 2n + 4{n^2} \hfill \\<br /> 6 \pm 2m + 4{m^2} = \pm 2n + 4{n^2} \hfill \\<br /> 4\left( {{n^2} - {m^2}} \right) \pm 2\left( {n - m} \right) = 6 \hfill \\<br /> 4\left( {n - m} \right)\left( {n + m} \right) \pm 2\left( {n - m} \right) = 6 \hfill \\<br /> 2\left( {n - m} \right)\left\{ {2\left( {n + m} \right) \pm 1} \right\} = 6 \hfill \\<br /> \left( {n - m} \right)\left\{ {2\left( {n + m} \right) \pm 1} \right\} = 3 \hfill \\<br /> {\text{caso 1:}}\left( {n - m} \right) = 1\;\;\;;\;\;2\left( {n + m} \right) + 1 = 3 \hfill \\<br /> n = m + 1 \Rightarrow 2\left( {1 + 2m} \right) + 1 = 3 \Leftrightarrow 3 + 4m = 3 \Rightarrow \left( {n,m} \right) = \left( {1,0} \right) \hfill \\<br /> \Rightarrow x = \frac{{25}}{4} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{caso 2:}}\left( {n - m} \right) = - 1\;\;\;;\;\;2\left( {n + m} \right) + 1 = - 3 \hfill \\<br /> n = m - 1 \hfill \\<br /> \;2\left( {2m - 1} \right) + 1 = - 3 \hfill \\<br /> 4m - 1 = - 3 \Rightarrow 4m = - 2 \Rightarrow m = - \frac{1}{2}{\text{ }}\left( {{\text{no sirve}}} \right) \hfill \\<br /> {\text{caso 3:}}\left( {n - m} \right) = 1\;\;\;;\;\;2\left( {n + m} \right) - 1 = 3 \hfill \\<br /> n = m + 1 \hfill \\<br /> 2\left( {2m + 1} \right) - 1 = 3 \Leftrightarrow 4m = 2 \Rightarrow m = \frac{1}{2}\;\left( {{\text{tampoco}}} \right) \hfill \\<br /> {\text{caso 4:}}\left( {n - m} \right) = - 1\;\;\;;\;\;2\left( {n + m} \right) - 1 = - 3 \hfill \\<br /> n = m - 1 \hfill \\<br /> \Rightarrow \;2\left( {2m - 1} \right) - 1 = - 3 \hfill \\<br /> 4m - 3 = - 3 \Rightarrow 4m = 0 \Rightarrow \left( {n,m} \right) = \left( { - 1,0} \right) \hfill \\<br /> x = \frac{{25}}{4} \hfill \\<br /> {\text{caso 5:}}\left( {n - m} \right) = 3\;\;\;;\;\;2\left( {n + m} \right) + 1 = 1 \hfill \\<br /> \Rightarrow n = - m \Rightarrow 2n = 3{\text{ }}\left( {{\text{no nos sirve}}} \right) \hfill \\<br /> {\text{caso 6:}}\left( {n - m} \right) = - 3\;\;\;;\;\;2\left( {n + m} \right) + 1 = - 1 \hfill \\<br /> \Rightarrow \left( {n + m} \right) = - 1{\text{ sumando}} \hfill \\<br /> 2n = - 4 \Rightarrow \left( {n,m} \right) = \left( { - 2,1} \right) \Rightarrow x = \frac{{49}}{4} \hfill \\<br /> {\text{caso 7:}}\left( {n - m} \right) = 3\;\;\;;\;\;2\left( {n + m} \right) - 1 = 1 \hfill \\<br /> \Rightarrow n + m = 1 \hfill \\<br /> 2n = 4 \Rightarrow \left( {n,m} \right) = \left( {2, - 1} \right) \Rightarrow x = \frac{{49}}{4} \hfill \\<br /> {\text{caso 8:}}\left( {n - m} \right) = - 3\;\;\;;\;\;2\left( {n + m} \right) - 1 = - 1 \hfill \\<br /> n = - m \hfill \\<br /> 2n = - 3{\text{ }}\left( {{\text{tampoco sirve}}} \right) \hfill \\<br /> {\text{asi}} \hfill \\<br /> x = \frac{{25}}{4} \vee x = \frac{{49}}{4} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ Que master_c proponga que de seguro tendrá un problema mejor que yo Mensaje modificado por Crash! el May 24 2013, 12:20 AM -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

master_c	May 24 2013, 09:55 AM Publicado: #62
Invitado	49/4 no es solucion proppongo $TEX: $$<br />\frac{{\sin x}}<br />{{\cos 3x}} + \frac{{\sin 3x}}<br />{{\cos 9x}} + \frac{{\sin 9x}}<br />{{\cos 27x}} = 0<br />$$$

master_c	May 25 2013, 01:35 PM Publicado: #63
Invitado	ya que la maraton esta detenida dare un hint, si no lo quieres ver no lo veas quieres verlo ? intentalo solo aun insistes ? ve que pasa con esto $TEX: $$\tan 3x - \tan x = ...$$$ Mensaje modificado por master_c el May 25 2013, 01:37 PM

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2013, 09:36 PM Publicado: #64
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ May 24 2013, 09:55 AM) 49/4 no es solucion proppongo $TEX: $$<br />\frac{{\sin x}}<br />{{\cos 3x}} + \frac{{\sin 3x}}<br />{{\cos 9x}} + \frac{{\sin 9x}}<br />{{\cos 27x}} = 0<br />$$$ No te voy a mentir, la verdad ni se me ocurrió como hacer el problema, solo llegue a "algo" usando la forma de Euler, pero es bastante fea, y fue la única forma en que pude hacerlo xd Me falta más practica para las identidades y todo eso, la verdad me cuesta verlo en los ejercicios. Aquí va lo que "hice". Solución solo para los Reales, nada de complejos. con u = e^(ix) $TEX: \[\frac{\frac{u-u^{-1}}{2i}}{\frac{u^{3}+u^{-3}}{2}}+\frac{\frac{u^{3}-u^{-3}}{2i}}{\frac{u^{9}+u^{-9}}{2}}+\frac{\frac{u^{9}-u^{-9}}{2i}}{\frac{u^{27}+u^{-27}}{2}}=\frac{u-u^{-1}}{i(u^{3}+u^{-3})}+\frac{u^{3}-u^{-3}}{i(u^{9}+u^{-9})}+\frac{u^{9}-u^{-9}}{i(u^{27}+u^{-27})}=0\]$ Desarrollando las fracciones un poco: $TEX: \[\frac{u^{4}-u^{2}}{i(u^{6}+1)}+\frac{u^{12}-u^{6}}{i(u^{18}+1)}+\frac{u^{36}-u^{18}}{i(u^{54}+1)}=0\]$ $TEX: \[u^{2}\left (\frac{u^{2}-1}{i(u^{6}+1)}+\frac{u^{10}-u^{4}}{i(u^{18}+1)}+\frac{u^{34}-u^{16}}{i(u^{54}+1)} \right )=0\]$ No hay solución para u = 0. Tomando la parte "Real", los denominadores nunca son negativos para que puedan restarse y sumarse (ya que solo se suman las fracciones), entonces los numeradores deben ser 0, y eso pasa cuando $TEX: \[u=\pm 1\]$ $TEX: \[e^{ix}=1\;\;\;\vee \;\;\;e^{ix}=-1\]$ $TEX: \[ix=0\;\;\;\vee \;\;\;ix=i\pi \]<br />$ $TEX: \[x=2\pi k\;\;\;\vee \;\;\;x=\pi +2\pi k\]$ $TEX: \[x=\pi k\]$ k en Z A eso llegué, espero ver la forma más sencilla xD con las identidades y eso... ---------------------------------------- Propongo dos inecuaciones facilines: i) $TEX: \[2\, sen^{2}(x)\geq sen(x)\]$ ii) $TEX: \[2\, sen(x)cos(x)-sen(x)+2\,cos(x)-1< 0\]$ Mensaje modificado por Coto-kun el May 25 2013, 09:37 PM --------------------

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2013, 02:06 AM Publicado: #65
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La i. $TEX: $$2\sin^{2}(x)\geq \sin(x)$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow \sin(x)\left ( 2\sin(x)-1 \right )\geq 0$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow \left ( \sin(x)\geq 0\textup{ } \wedge \textup{ }2\sin(x)-1\geq 0\right )\vee \left ( \sin(x)\leq 0\textup{ } \wedge \textup{ }2\sin(x)-1\leq 0\right )$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow \left ( \sin(x)\geq 0\textup{ } \wedge \textup{ }\sin(x)\geq \frac{1}{2}\right )\vee \left ( \sin(x)\leq 0\textup{ } \wedge \textup{ }\sin(x)\leq \frac{1}{2}\right )$$$ $TEX: $$\Rightarrow \left ( \sin(x)\geq \frac{1}{2} \right )\vee \left ( \sin(x)\leq 0 \right )$$$ $TEX: $$\Rightarrow\left ( x\in [\frac{\pi}{6}+2\pi k,\frac{5\pi}{6}+2\pi k] \right )\vee \left ( x\in [\pi+2\pi k,2\pi+2\pi k] \right )\textup{ ; }k\in \mathbb{Z}$$$ La ii. $TEX: $$2\sin(x)\cos(x)-\sin(x)+2\cos(x)-1<0$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow 2\cos(x)\left ( \sin(x)+1 \right )-(\sin(x)+1)<0$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow \left ( \sin(x)+1 \right )\left ( 2\cos(x)-1 \right )<0$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow \left ( \sin(x)<-1\textup{ }\wedge 2\cos(x)-1>0 \right )\vee \left ( \sin(x)>-1\textup{ }\wedge 2\cos(x)-1<0 \right )$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow \left ( \sin(x)<-1\textup{ }\wedge \cos(x)>\frac{1}{2} \right )\vee \left ( \sin(x)>-1\textup{ }\wedge \cos(x)<\frac{1}{2} \right )$$$ $TEX: $$\Rightarrow\left ( x\in \O \wedge x\in ]a+2\pi k,b+2\pi k[ \right )\vee \left ( x\neq \frac{3\pi}{2}+2\pi k\textup{ } \wedge \textup{ }x\in ]\frac{\pi}{3}+2\pi k,\frac{5\pi}{3}+2\pi k[\right )$$$ $TEX: $$\Rightarrow x\in \left ( \frac{\pi}{3}+2\pi k,\frac{5\pi}{3}+2\pi k\right )\wedge x\neq \frac{3\pi}{2}+2\pi k\textup{ ; }k\in \mathbb{Z}$$$ Propongo: i. Resuelva la ecuacion $TEX: $$det\begin{pmatrix}\sin(x)&\sin(3x)&\sin(5x)\\ \sin(2x)& \sin(4x)& \sin(6x)\\1&1&1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\sin(2x)$$$ para x en los reales. Saludos -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

master_c	May 26 2013, 11:10 AM Publicado: #66
Invitado	coto-kun te falta una solucion que pasa con $TEX: $$x = \frac{{n\pi }}{{26}}$$$ usa el hint >< saludos Mensaje modificado por master_c el May 26 2013, 11:11 AM

Jack Sparrow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2013, 12:17 PM Publicado: #67
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 6-November 09 Desde: El Perla negra Miembro Nº: 61.590 Colegio/Liceo:	Usando el hint se tiene: $TEX: \noindent $$\tan (3x)-\tan x=2\frac{\sin (x)}{\cos (3x)}$$ \\ $$\tan (9x)-\tan (3x)=2\frac{\sin (3x)}{\cos (9x)}$$ \\ $$\tan (27x)-\tan (9x)=2\frac{\sin (9x)}{\cos (27x)}$$$ Luego $TEX: \noindent $$\frac{\sin (x)}{\cos (3x)}+\frac{\sin (3x)}{\cos (9x)}+\frac{\sin (9x)}{\cos (27x)}=0$$ \\ $$\frac{\tan (3x)-\tan x+\tan (9x)-\tan (3x)+\tan (27x)-\tan (9x)}{2}=0$$ \\ <br />$ $TEX: \noindent $$\tan (27x)-\tan (x)=0$$\\<br /><br />$$\frac{\sin (27x)}{\cos (27x)}-\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=0$$\\<br /><br />$$\frac{\sin (27x)\cos (x)-\sin (x)\cos (27x)}{\cos (27x)\cos (x)}=0$$\\<br /><br />$$<br />\frac{\sin (26x)}{\cos (27x)\cos (x)}=0\Leftrightarrow \sin (26x)=0\Leftrightarrow 26x=\pi k\Leftrightarrow x=\frac{\pi k}{26}<br />$$\\<br />$

master_c	May 26 2013, 12:26 PM Publicado: #68
Invitado	CITA(josemetal @ May 26 2013, 02:06 AM) Propongo: i. Resuelva la ecuacion $TEX: $$det\begin{pmatrix}\sin(x)&\sin(3x)&\sin(5x)\\ \sin(2x)& \sin(4x)& \sin(6x)\\1&1&1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\sin(2x)$$$ para x en los reales. Saludos resolviendo el determinante $TEX: $$<br />\sin x\left( {\sin 4x - \sin 6x} \right) - \sin 3x\left( {\sin 2x - \sin 6x} \right) + \sin 5x\left( {\sin 2x - \sin 4x} \right) = \frac{1}<br />{2}\sin 2x<br />$$$ $TEX: $$<br />\left( {\sin x\sin 4x - \sin x\sin 6x} \right) + \left( {\sin 3x\sin 6x - \sin 2x\sin 3x} \right) + \left( {\sin 2x\sin 5x - \sin 4x\sin 5x} \right) = \frac{1}<br />{2}\sin 2x<br />$$$ $TEX: $$<br />2\sin 3x\left( {\sin 6x - \sin 2x} \right) - 2\sin x\left( {\sin 6x - \sin 4x} \right) - 2\sin 5x\left( {\sin 4x - \sin 2x} \right) = \sin 2x<br />$$$ $TEX: $$<br />4\sin 2x\sin 3x\cos 4x - 4\sin ^2 x\cos 5x - 4\sin 2x\sin 5x\cos 4x + 4\sin x\sin 5x\cos 5x = \sin 2x<br />$$$ $TEX: $$<br />4\sin 2x\sin 3x\cos 4x - 4\sin 2x\sin 5x\cos 4x + 4\sin x\sin 5x\cos 5x - 4\sin ^2 x\cos 5x = \sin 2x<br />$$$ $TEX: $$<br />4\sin 2x\cos 4x\left( {\sin 3x - \sin 5x} \right) + 4\sin x\cos 5x\left( {\sin 5x - \sin x} \right) = \sin 2x<br />$$$ $TEX: $$<br />4\sin x\cos 5x \cdot 2\cos 3x\sin 2x - 4\sin 2x\cos 4x \cdot 2\cos 4x\sin x - \sin 2x = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />8\sin x\sin 2x\cos 3x\cos 5x - 8\sin x\sin 2x\cos ^2 4x - \sin 2x = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />\left( {8\sin x\cos 3x\cos 5x - 8\sin x\cos ^2 4x - 1} \right)\sin 2x = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />8\sin x\cos 3x\cos 5x - 8\sin x\cos ^2 4x - 1 = 0 \vee \sin 2x = 0 \Rightarrow x = n\pi <br />$$$ $TEX: $$<br />8\sin x\left( {\cos 3x\cos 5x - \cos 4x\cos 4x} \right) = 1<br />$$$ $TEX: $$<br />4\sin x\left( {\cos 8x + \cos 2x - \cos 8x - 1} \right) = 1<br />$$$ $TEX: $$<br />4\sin x\left( {\cos ^2 x - \sin ^2 x - 1} \right) = - 4\sin x \cdot 2\sin ^2 x = - 8\sin ^3 x = 1<br />$$$ $TEX: $$<br />8\sin ^3 x + 1 = \left( {2\sin x} \right)^3 + 1^3 = \left( {2\sin x + 1} \right)\left( {4\sin ^2 x - 2\sin x + 1} \right) = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />2\sin x + 1 = 0 \Rightarrow x = \left( { - 1} \right)^n \arcsin \left( { - \frac{1}<br />{2}} \right) + n\pi = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \frac{\pi }<br />{6} + n\pi <br />$$$ $TEX: $$<br />4\sin ^2 x - 2\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{{2 \pm \sqrt {4 - 4^2 } }}<br />{8} = \frac{{1 \pm \sqrt 3 i}}<br />{4}<br />$$$ $TEX: $$<br />x = 2n\pi + \arcsin \frac{{1 \pm \sqrt 3 i}}<br />{4} \vee x = 2n\pi + \pi - \arcsin \frac{{1 \pm \sqrt 3 i}}<br />{4}<br />$$$ me falto algo $TEX: $$<br />\sin 2x = 2\sin x\cos x = 0 \Rightarrow x = n\pi \vee x = \pm \frac{\pi }<br />{2} + 2n\pi <br />$$$ Mensaje modificado por master_c el May 26 2013, 12:41 PM

master_c	May 26 2013, 12:27 PM Publicado: #69
Invitado	CITA(Jack Sparrow @ May 26 2013, 12:17 PM) Usando el hint se tiene: $TEX: \noindent $$\tan (3x)-\tan x=2\frac{\sin (x)}{\cos (3x)}$$ \\ $$\tan (9x)-\tan (3x)=2\frac{\sin (3x)}{\cos (9x)}$$ \\ $$\tan (27x)-\tan (9x)=2\frac{\sin (9x)}{\cos (27x)}$$$ Luego $TEX: \noindent $$\frac{\sin (x)}{\cos (3x)}+\frac{\sin (3x)}{\cos (9x)}+\frac{\sin (9x)}{\cos (27x)}=0$$ \\ $$\frac{\tan (3x)-\tan x+\tan (9x)-\tan (3x)+\tan (27x)-\tan (9x)}{2}=0$$ \\ <br />$ $TEX: \noindent $$\tan (27x)-\tan (x)=0$$\\<br /><br />$$\frac{\sin (27x)}{\cos (27x)}-\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=0$$\\<br /><br />$$\frac{\sin (27x)\cos (x)-\sin (x)\cos (27x)}{\cos (27x)\cos (x)}=0$$\\<br /><br />$$<br />\frac{\sin (26x)}{\cos (27x)\cos (x)}=0\Leftrightarrow \sin (26x)=0\Leftrightarrow 26x=\pi k\Leftrightarrow x=\frac{\pi k}{26}<br />$$\\<br />$

master_c	May 26 2013, 12:38 PM Publicado: #70
Invitado	Propongo encontrar todos los enteros positivos n tales que $TEX: $$<br />\cos \frac{\pi }<br />{n}\cos \frac{{2\pi }}<br />{n}\cos \frac{{3\pi }}<br />{n} = \frac{1}<br />{{n + 1}}<br />$$$ Mensaje modificado por master_c el May 26 2013, 08:19 PM

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