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ECT-Maratón, Maratón de ecuaciones trigonométricas

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2013, 02:59 PM Publicado: #51
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Se me habia olvidado proponer xD Resuelva la ecuacion: $TEX: $$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left ( \ln(x) \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left ( \ln(x) \right )+\sin\left ( \frac{3\pi}{4}+\ln(x^{3}) \right )=\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\ln(x^{2}) \right )+\sin\left ( \pi+\ln(x^{4}) \right )$$$ -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2013, 06:15 PM Publicado: #52
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{sea la ecuacion:}} \hfill \\<br /> \sin \left( z \right) + \sin \left( {3z} \right) = \sin \left( {2z} \right) + \sin \left( {4z} \right) \hfill \\<br /> {\text{gracias a la identidad}} \hfill \\<br /> \sin \left( a \right) + \sin \left( b \right) = 2\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right) \hfill \\<br /> {\text{nos queda:}} \hfill \\<br /> 2\sin \left( {2z} \right)\cos \left( z \right) = 2\sin \left( {3z} \right)\cos \left( z \right) \hfill \\<br /> \Rightarrow \cos \left( z \right)\left\{ {\sin \left( {3z} \right) - \sin \left( {2z} \right)} \right\} = 0 \hfill \\<br /> {\text{si }}k \in \mathbb{Z}{\text{ entonces:}} \hfill \\<br /> {\text{si }}\cos \left( z \right) = 0 \Rightarrow z = \frac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\<br /> {\text{si }}\sin \left( {3z} \right) - \sin \left( {2z} \right) = 0 \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \sin \left( {3z} \right) = \sin \left( {2z} \right) \hfill \\<br /> \Rightarrow 3z = 2z + 2k\pi \Rightarrow z = 2k\pi \hfill \\<br /> {\text{luego la ecuacion a considerar es:}} \hfill \\<br /> \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \left( {\ln \left( x \right)} \right) + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos \left( {\ln \left( x \right)} \right) + \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + \ln \left( {{x^3}} \right)} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \ln \left( {{x^2}} \right)} \right) + \sin \left( {\pi + \ln \left( {{x^4}} \right)} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{claramente }}x > 0{\text{ luego:}} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {\ln \left( x \right)} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\ln \left( x \right)} \right) + \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + \ln \left( {{x^3}} \right)} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \ln \left( {{x^2}} \right)} \right) + \sin \left( {\pi + \ln \left( {{x^4}} \right)} \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \ln \left( x \right)} \right) + \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + \ln \left( {{x^3}} \right)} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \ln \left( {{x^2}} \right)} \right) + \sin \left( {\pi + \ln \left( {{x^4}} \right)} \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \ln \left( x \right)} \right) + \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + 3\ln \left( x \right)} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2\ln \left( x \right)} \right) + \sin \left( {\pi + 4\ln \left( x \right)} \right) \hfill \\<br /> {\text{si hacemos }}z = \frac{\pi }{4} + \ln \left( x \right){\text{ nos queda}} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \sin \left( z \right) + \sin \left( {3z} \right) = \sin \left( {2z} \right) + \sin \left( {4z} \right) \hfill \\<br /> {\text{por lo que si:}} \hfill \\<br /> z = \frac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\<br /> \Rightarrow \frac{\pi }{4} + \ln \left( x \right) = \frac{\pi }{2} + k\pi \Rightarrow \ln \left( x \right) = \frac{\pi }{4} + k\pi \Rightarrow x = {e^{ \frac{\pi }{4} + k\pi }} \hfill \\<br /> {\text{si: }}z = 2k\pi \hfill \\<br /> \frac{\pi }{4} + \ln \left( x \right) = 2k\pi \Rightarrow x = {e^{ - \frac{\pi }{4} + 2k\pi }} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{Propuesto:}} \hfill \\<br /> {\text{sean }}a,b \in \mathbb{R}{\text{ resuelva:}} \hfill \\<br /> a\cos \left( x \right) + b\sin \left( x \right) = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

master_c	May 23 2013, 08:10 PM Publicado: #53
Invitado	CITA(master_c @ May 22 2013, 04:04 PM) propongo encontrar x $TEX: $$<br />\sin x = a,\;\left\| a \right\| \leqslant 1<br />$$$ analogamente para $TEX: $$<br />\cos x = a,\;\left\| a \right\| \leqslant 1<br />$$$ Fuente: editorial MIR $TEX: $$<br />x = \left( { - 1} \right)^k \arcsin a + k\pi <br />$$$ $TEX: $$<br />x = \pm \arccos a + 2k\pi <br />$$$ en fin

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2013, 08:22 PM Publicado: #54
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Crash! @ May 23 2013, 06:15 PM) $TEX: \[acos(x)+bsen(x)=0\]$ Soy medio nuevo con complejos +trigonometría, espero me corrijan si hay algo malo Para a,b no nulos $TEX: \[a\left ( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right )+b\left ( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right )=0\]$ $TEX: \[a\left ( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right )-ib\left ( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2} \right )=0\]$ $TEX: \[a\left ( e^{ix}+e^{-ix} \right )-ib\left ( e^{ix}-e^{-ix} \right )=0\]$ sea u =e^(ix) $TEX: \[a\left ( u+\frac{1}{u} \right )-ib\left ( u-\frac{1}{u} \right )=0\]$ $TEX: \[(a-ib)u^{2}+(a+ib)=0\]$ $TEX: \[u=\pm \sqrt{-\frac{(a+ib)}{(a-ib)}}=\pm \sqrt{\frac{ib+a}{ib-a}}\]$ $TEX: \[e^{ix}=\pm \sqrt{\frac{ib+a}{ib-a}}\]$ $TEX: \[x=-iln\left (\pm \sqrt{\frac{ib+a}{ib-a}} \right )\]$ $TEX: \[x=-iln\left (\pm \sqrt{\frac{b(i+\frac{a}{b})}{b(i-\frac{a}{b})}} \right )=-iln\left (\pm \sqrt{\frac{(i+\frac{a}{b})}{(i-\frac{a}{b})}} \right )\]$ $TEX: \[x=-iln\left ( \sqrt{\frac{(i+\frac{a}{b})}{(i-\frac{a}{b})}} \right )\;\;\vee \;\;x=-iln\left (- \sqrt{\frac{(i+\frac{a}{b})}{(i-\frac{a}{b})}} \right )\]$ $TEX: \[x=-\frac{i}{2}ln\left ( \frac{i+\frac{a}{b}}{i-\frac{a}{b}} \right )\;\;\vee \;\;x=-iln\left (- \sqrt{\frac{(i+\frac{a}{b})}{(i-\frac{a}{b})}} \right )\]$ $TEX: \[x=k\pi -Arctan\left (\frac{a}{b} \right )\;\;\vee \;\;x=-iln\left (- \sqrt{\frac{(i+\frac{a}{b})}{(i-\frac{a}{b})}} \right )\]$ Espero sea esa la solución ------------- P.D: cuando sepa como continuar lo de la derecha lo edito. Mensaje modificado por Coto-kun el May 23 2013, 09:15 PM --------------------

master_c	May 23 2013, 08:35 PM Publicado: #55
Invitado	[quote name='Crash!' date='May 23 2013, 06:15 PM' post='663480'] para tu propuesto si $TEX: $$a = 0$$$ solucion trivial $TEX: $$\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi $$$ si $TEX: $$b = 0$$$ $TEX: $$<br />\cos x = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }<br />{2} + 2k\pi <br />$$$ asumiendo a, b no nulos $TEX: $$<br />a\cos x + b\sin x = \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\cos x + \frac{b}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\sin x = 0<br />$$$ haciendo $TEX: $$<br />\left( {\sin u,\cos u} \right) = \left( {\frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }},\frac{b}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br />\sin u\cos x + \cos u\sin x = \sin \left( {u + x} \right) = 0<br />$$$ $TEX: $$<br /> \Rightarrow x = k\pi - u = k\pi - \arcsin \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} = k\pi - \arccos \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}<br />$$$ comprobacion $TEX: $$<br />0 = a\cos x + b\sin x = a\cos \left( {k\pi - \arcsin \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}} \right) + b\sin \left( {k\pi - \arcsin \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br /> = \left( { - 1} \right)^k a\cos \arcsin \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} - \left( { - 1} \right)^k b\sin \arcsin \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}<br />$$$ $TEX: $$<br /> = \left( { - 1} \right)^k a\sqrt {1 - \left( {\frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}} \right)^2 } - \left( { - 1} \right)^k \frac{{ab}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}<br />$$$ $TEX: $$<br /> = \left( { - 1} \right)^k \frac{{ab}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} - \left( { - 1} \right)^k \frac{{ab}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} = 0<br />$$$ tambien podria expresarse como $TEX: $$<br />x = u - \left( { \pm \frac{\pi }<br />{2} + 2k\pi } \right) = \arccos \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} - \left( { \pm \frac{\pi }<br />{2} + 2k\pi } \right) = \arcsin \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} - \left( { \pm \frac{\pi }<br />{2} + 2k\pi } \right)<br />$$$

master_c	May 23 2013, 08:49 PM Publicado: #56
Invitado	coto kun no he visto tu solucion entera pero hay algo mal (dle 4to paso contanto de atras hacia adelante) http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm aunque por cierto la primera solucion si cumple $TEX: $$<br />0 = a\cos x + b\sin x = a\cos \left( {k\pi - \arctan \frac{a}<br />{b}} \right) + b\sin \left( {k\pi - \arctan \frac{a}<br />{b}} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br /> = a\cos k\pi \cos \arctan \frac{a}<br />{b} - b\sin \arctan \frac{a}<br />{b}\cos k\pi = \left( { - 1} \right)^k a\cos \arctan \frac{a}<br />{b} - \left( { - 1} \right)^k b\sin \arctan \frac{a}<br />{b}<br />$$$ $TEX: $$<br /> = a\left( { - 1} \right)^k \frac{1}<br />{{\sqrt {1 + \left( {\frac{a}<br />{b}} \right)^2 } }} - b\left( { - 1} \right)^k \frac{{\frac{a}<br />{b}}}<br />{{\sqrt {1 + \left( {\frac{a}<br />{b}} \right)^2 } }} = \left( { - 1} \right)^k \frac{{ab}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} - \left( { - 1} \right)^k \frac{{ab}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} = 0<br />$$$ Mensaje modificado por master_c el May 23 2013, 08:55 PM

master_c	May 23 2013, 09:05 PM Publicado: #57
Invitado	CITA(master_c @ May 22 2013, 10:22 PM) propongo demuestre que $TEX: $$<br />\prod\limits_{k = 1}^n {\sin \frac{{k\pi }}<br />{{2n + 1}}} = \frac{{\sqrt {2n + 1} }}<br />{{2^n }}<br />$$$ fuente; artofproblemsolving (ex mathlinks) http://www.artofproblemsolving.com/Forum/v...939109#p2939109

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2013, 09:36 PM Publicado: #58
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	ee bueno les pongo este xD aunque sea más fácil xd, pero es para el rato: propongo: Demuestre que $TEX: \[cos^{2}(x)+cos^{2}(\frac{2\pi }{3}+x)+cos^{2}(\frac{2\pi }{3}-x)\]$ no depende de "x" Mensaje modificado por Coto-kun el May 23 2013, 09:37 PM --------------------

master_c	May 23 2013, 09:43 PM Publicado: #59
Invitado	CITA(Coto-kun @ May 23 2013, 09:36 PM) ee bueno les pongo este xD aunque sea más fácil xd, pero es para el rato: propongo: Demuestre que $TEX: \[cos^{2}(x)+cos^{2}(\frac{2\pi }{3}+x)+cos^{2}(\frac{2\pi }{3}-x)\]$ no depende de "x" $TEX: $$<br />K = \cos ^2 x + \left( {\cos \frac{{2\pi }}<br />{3}\cos x - \sin \frac{{2\pi }}<br />{3}\sin x} \right)^2 + \left( {\cos \frac{{2\pi }}<br />{3}\cos x + \sin \frac{{2\pi }}<br />{3}\sin x} \right)^2 <br />$$$ $TEX: $$<br /> = \cos ^2 x + \left( {\frac{1}<br />{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2}\sin x} \right)^2 + \left( {\frac{1}<br />{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2}\sin x} \right)^2 <br />$$$ $TEX: $$<br /> = \cos ^2 x + \frac{1}<br />{2}\cos ^2 x + \frac{3}<br />{2}\sin ^2 x = \frac{3}<br />{2}\cos ^2 x + \frac{3}<br />{2}\sin ^2 x = \frac{3}<br />{2}<br />$$$

master_c	May 23 2013, 09:44 PM Publicado: #60
Invitado	propongo $TEX: $$<br />\sin \left( {\pi \sqrt x } \right)\sin \left( {\pi \sqrt {x - 6} } \right) = 1<br />$$$ fuente, de una olimpiada de por ahí Mensaje modificado por master_c el May 23 2013, 09:54 PM

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