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ECT-Maratón, Maratón de ecuaciones trigonométricas

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2013, 05:06 PM Publicado: #41
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ May 22 2013, 04:35 PM) no entiendo lo que quieres decir, pero ten en cuenta que a es un numero real perteneciente a [-1,1] quizas te sirva escribir el sin como exp saludos mm a eso voy, es que si "a" está entre [-1,1], entonces x está entre [0,2pi[ (sin contar las vueltas, el 2kpi y esas cosas xd) y si sen(x) = a y cos(x) = a entonces sen(x) = cos(x), a eso me refiero. Mensaje modificado por Coto-kun el May 22 2013, 05:11 PM --------------------

master_c	May 22 2013, 05:08 PM Publicado: #42
Invitado	CITA(jipvX @ May 22 2013, 04:57 PM) Yo tengo una duda con esta :S 3tg(2x)-4tg(3x)=tg^2(3x)tg(2x) hice esto -4tg(3x)=tg^2(3x)tg(2x)-3tg(2x) factorizando -4tg(3x)=tg(2x)[tg^2(3x)-3] la cosa es que luego hice un cambio de variable :S pero no me da xd :SS también traté de aplicar ángulo doble y ángulo triple, pero me queda algo mucho más cochino :S pon un restriccion y haz $TEX: $$<br />3\tan 2x - 4\tan 3x = \tan ^2 3x\tan 2x<br />$$$ $TEX: $$<br />3\left( {\tan 2x - \tan 3x} \right) = \tan 3x\left( {1 + \tan 3x\tan 2x} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br />3 \cdot \frac{{\tan 2x - \tan 3x}}<br />{{1 + \tan 3x\tan 2x}} = \tan 3x<br />$$$ $TEX: $$<br />3\tan \left( {2x - 3x} \right) = - 3\tan x = \tan 3x<br />$$$ $TEX: $$<br />3\tan x + \tan x\frac{{3 - \tan ^2 x}}<br />{{1 - 3\tan ^2 x}} = \left( {3 + \frac{{3 - \tan ^2 x}}<br />{{1 - 3\tan ^2 x}}} \right)\tan x = 0<br />$$$ el resto es trivial Mensaje modificado por master_c el May 22 2013, 05:10 PM

master_c	May 22 2013, 05:21 PM Publicado: #43
Invitado	CITA(Coto-kun @ May 22 2013, 05:06 PM) mm a eso voy, es que si "a" está entre [-1,1], entonces x está entre [0,2pi[ (sin contar las vueltas, el 2kpi y esas cosas xd) y si sen(x) = a y cos(x) = a entonces sen(x) = cos(x), a eso me refiero. no es un sistema de ecuaciones, propuse dos ecuaciones similares asi que no puedes asumir sin x = cos x

jipvX Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2013, 05:21 PM Publicado: #44
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 9-August 11 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 92.747 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(master_c @ May 22 2013, 05:08 PM) pon un restriccion y haz $TEX: $$<br />3\tan 2x - 4\tan 3x = \tan ^2 3x\tan 2x<br />$$$ $TEX: $$<br />3\left( {\tan 2x - \tan 3x} \right) = \tan 3x\left( {1 + \tan 3x\tan 2x} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br />3 \cdot \frac{{\tan 2x - \tan 3x}}<br />{{1 + \tan 3x\tan 2x}} = \tan 3x<br />$$$ $TEX: $$<br />3\tan \left( {2x - 3x} \right) = - 3\tan x = \tan 3x<br />$$$ $TEX: $$<br />3\tan x + \tan x\frac{{3 - \tan ^2 x}}<br />{{1 - 3\tan ^2 x}} = \left( {3 + \frac{{3 - \tan ^2 x}}<br />{{1 - 3\tan ^2 x}}} \right)\tan x = 0<br />$$$ el resto es trivial no se me habría ocurrido XDD gracias --------------------

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2013, 08:29 PM Publicado: #45
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ May 22 2013, 04:04 PM) propongo encontrar x $TEX: $$<br />\sin x = a,\;\left\| a \right\| \leqslant 1<br />$$$ analogamente para $TEX: $$<br />\cos x = a,\;\left\| a \right\| \leqslant 1<br />$$$ Fuente: editorial MIR veré hasta donde puedo dejarlo con la exponencial $TEX: <br />\[sen(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=a\]$ $TEX: \[sen(x)=e^{ix}-\frac{1}{e^{ix}}=2ia\]$ Sea u = e^(ix) $TEX: \[sen(x)=u-\frac{1}{u}=2ia\]<br />$ $TEX: \[sen(x)=u^{2}-2iau-1=0\]$ $TEX: \[u=\frac{2ia\pm \sqrt{-4a^{2}+4}}{2}=ia\pm \sqrt{1-a^{2}}\]$ como \|a\|<=1 esa raiz es real. $TEX: \[e^{ix}=ia\pm \sqrt{1-a^{2}}\]$ $TEX: \[x=\frac{ln(ia\pm \sqrt{1-a^{2}})}{i}\]$ siguiendo consejo de master_c: "racionalizando" (no sé si así se dice) por i $TEX: \[x = -iln(ia\pm \sqrt{1-a^{2}})\]$ según la definición cuando es "+" corresponde al Arcsen $TEX: \[x=Arcsen(x)\;\;\vee \;\;x = -iln(ia- \sqrt{1-a^{2}})\]$ $TEX: \[x=Arcsen(a)+2k\pi \;\;\vee \;\;x=\pi -Arcsen(a)+2k\pi \;\;\vee \;\;x = -iln(ia- \sqrt{1-a^{2}})\]$ (no sé que sucede con este último) Mensaje modificado por Coto-kun el May 22 2013, 09:16 PM --------------------

master_c	May 22 2013, 08:49 PM Publicado: #46
Invitado	va por ahi la respuesta... nota que eso se puede escribir como arcsin(a) es facilmente demostrable pero aun asi faltaria algunas cosas http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions saludos

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2013, 09:35 PM Publicado: #47
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ May 22 2013, 04:04 PM) propongo encontrar x $TEX: $$<br />\sin x = a,\;\left\| a \right\| \leqslant 1<br />$$$ analogamente para $TEX: $$<br />\cos x = a,\;\left\| a \right\| \leqslant 1<br />$$$ Fuente: editorial MIR Edite el anterior el del sen(x) y ahora vamos con el cos xd $TEX: \[cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=a\]$ haciendo u = e^(ix) $TEX: \[u+\frac{1}{u}=2a\;\;\Rightarrow \;\;u^{2}-2au+1=0\]$ $TEX: \[u = \frac{2a\pm \sqrt{4a^{2}-4}}{2}=a\pm \sqrt{a^{2}-1}=a\pm \sqrt{(-1)(1-a^{2})}=a\pm i\sqrt{1-a^{2}}\]$ $TEX: \[e^{ix}=a\pm i\sqrt{1-a^{2}}\]$ $TEX: \[x=\frac{ln(a\pm i\sqrt{1-a^{2}})}{i}=-iln(a\pm i\sqrt{1-a^{2}})\]$ El arcocoseno se define cuando es "+" $TEX: \[x=Arccos(a)+2k\pi \;\;\vee \;\;x=2\pi -Arccos(a)+2k\pi \;\;\vee \;\;x=-iln(a\- i-\sqrt{1-a^{2}})\]$ mm hasta ahí sería cierto?? qué sucede cuando es "-" a todo esto? eee propongo para no estar trabados xd ---------------------------------------------------------- ee como no sé cuales son dificiles o fáciles les pondré este xd que igual es sencillo pero no sé que proponer xd $TEX: \[Si\;\;\mu =Arccot\left ( \sqrt{cos(\alpha )} \right )-Arctan\left ( \sqrt{cos(\alpha )} \right )\]$ Demuestre que: $TEX: \[sen(\mu )=tan^{2}\left ( \frac{\alpha }{2} \right )\]$ Mensaje modificado por Coto-kun el May 22 2013, 09:38 PM --------------------

master_c	May 22 2013, 10:04 PM Publicado: #48
Invitado	CITA(Coto-kun @ May 22 2013, 09:35 PM) Demuestre que: $TEX: \[sen(\mu )=tan^{2}\left ( \frac{\alpha }{2} \right )\]$ falta en tu respuesta anterior $TEX: $$<br />x = \cot ^{ - 1} \sqrt {\cos a} \wedge y = \tan ^{ - 1} \sqrt {\cos a} <br />$$$ $TEX: $$<br />u = x - y<br />$$$ $TEX: $$<br />\cot x = \sqrt {\cos a} \wedge \tan y = \sqrt {\cos a} <br />$$$ $TEX: $$<br />\cot x = \tan y<br />$$$ $TEX: $$<br />\sin u = \sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y - \sin y\cos x = \cos x\cos y\left( {\frac{{\sin x}}<br />{{\cos x}} - \frac{{\sin y}}<br />{{\cos y}}} \right) = \cos x\cos y\left( {\tan x - \tan y} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br /> = \cos x\cos y\left( {\frac{1}<br />{{\sqrt {\cos a} }} - \sqrt {\cos a} } \right) = \frac{{\sqrt {\cos a} }}<br />{{\sqrt {1 + \cos a} }} \cdot \frac{1}<br />{{\sqrt {1 + \cos a} }} \cdot \frac{{1 - \cos a}}<br />{{\sqrt {\cos a} }}<br />$$$ $TEX: $$<br /> = \frac{{1 - \cos a}}<br />{{1 + \cos a}} = \frac{{1 - \cos ^2 a}}<br />{{\left( {1 + \cos a} \right)^2 }} = \left( {\frac{{\sin a}}<br />{{1 + \cos a}}} \right)^2 = \tan ^2 \frac{a}<br />{2}<br />$$$

master_c	May 22 2013, 10:22 PM Publicado: #49
Invitado	propongo demuestre que $TEX: $$<br />\prod\limits_{k = 1}^n {\sin \frac{{k\pi }}<br />{{2n + 1}}} = \frac{{\sqrt {2n + 1} }}<br />{{2^n }}<br />$$$ Mensaje modificado por master_c el May 22 2013, 10:34 PM

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2013, 01:34 AM Publicado: #50
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ May 22 2013, 10:22 PM) propongo demuestre que $TEX: $$<br />\prod\limits_{k = 1}^n {\sin \frac{{k\pi }}<br />{{2n + 1}}} = \frac{{\sqrt {2n + 1} }}<br />{{2^n }}<br />$$$ Hagamos $TEX: $$m=2n+1$$$ , y supongamos $TEX: $$z\in \mathbb{C}$$$ , y ademas se sabe que las m-raices de la unidad son $TEX: $$e^{2\pi ik/m}$$$ , Luego: $TEX: $$z^m-1=\prod_{k=1}^{m}\left ( z-e^{2\pi ik/m} \right )$$$ Pero: $TEX: $$\frac{z^m-1}{z-1}=\sum_{k=0}^{m-1}z^k=\frac{1}{z-1}\prod_{k=1}^{m}\left ( z-e^{2\pi ik/m} \right )=\prod_{k=1}^{m-1}\left ( z-e^{2\pi ik/m} \right )$$$ Luego, en particular para z=1, se cumple: $TEX: $$\sum_{k=0}^{m-1}1=m=\prod_{k=1}^{m-1}\left ( 1-e^{2\pi ik/m} \right )$$$ Ahora multiplicando la parte derecha de la igualdad por: $TEX: $$\frac{2ie^{-\pi ik/m}}{2ie^{-\pi ik/m}}$$$ Se obtiene: $TEX: $$m=\prod_{k=1}^{m-1}\frac{\left ( e^{-\pi ik/m}-e^{\pi ik/m} \right )}{2ie^{-\pi ik/m}}(2i)=(2i)^{m-1}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\frac{\left ( e^{\pi ik/m}-e^{-\pi ik/m} \right )}{2ie^{-\pi ik/m}}$$$ $TEX: $$\Rightarrow m=(-2i)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}(e^{\pi ik/m})\prod_{k=1}^{m-1}\frac{\left ( e^{\pi ik/m}-e^{-\pi ik/m} \right )}{2i}$$$ $TEX: $$\Rightarrow m=(-2i)^{m-1}\left ( e^{\sum_{k=1}^{m-1}(\frac{\pi i k}{m})} \right )\prod_{k=1}^{m-1}\frac{\left ( e^{\pi ik/m}-e^{-\pi ik/m} \right )}{2i}$$$ $TEX: $$\Rightarrow m=(-2i)^{m-1}\left ( e^{(\frac{\pi i k(m-1)}{2})} \right )\prod_{k=1}^{m-1}\frac{\left ( e^{\pi ik/m}-e^{-\pi ik/m} \right )}{2i}$$$ Ahora, usando el hecho de que: $TEX: $$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$$$ Y que: $TEX: $$\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\sin(x)$$$ Entonces la anterior expresion queda: $TEX: $$ m=(-2i)^{m-1}\left ( \cos((m-1)\pi/2)+i\sin((m-1)\pi/2)\right )\prod_{k=1}^{m-1}\sin\left ( \frac{\pi k}{m} \right )$$$ Luego, usando la formula de Moivre: $TEX: $$ m=(-2i)^{m-1}\left ( \cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)\right )^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\sin\left ( \frac{\pi k}{m} \right )$$$ $TEX: $$\Rightarrow m=(-2i)^{m-1}i^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\sin\left ( \frac{\pi ik}{m} \right )=2^{m-1}(-i^2)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\sin\left ( \frac{\pi k}{m} \right )$$$ $TEX: $$\Rightarrow m=2^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\sin\left ( \frac{\pi k}{m} \right )$$$ $TEX: $$\Rightarrow \frac{m}{2^{m-1}}=\prod_{k=1}^{m-1}\sin\left ( \frac{\pi k}{m} \right )<br />$$$ Luego, como $TEX: m=2n+1$ , se tiene que: $TEX: $$\Rightarrow \frac{2n+1}{2^{2n}}=\prod_{k=1}^{2n}\sin\left ( \frac{\pi k}{2n+1} \right )=\left (\prod_{k=1}^{n}\sin\left ( \frac{\pi k}{2n+1} \right ) \right )^{2}$$$ $TEX: $$\Rightarrow \frac{\sqrt{2n+1}}{2^{n}}=\prod_{k=1}^{n}\sin\left ( \frac{\pi k}{2n+1} \right )$$$ Saludos -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

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