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ECT-Maratón, Maratón de ecuaciones trigonométricas

PXO11 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 25 2008, 09:04 PM Publicado: #21
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 64 Registrado: 6-April 07 Miembro Nº: 4.985 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Recordando que $sec^2(x)=tg^2(x)+1$ se tiene que: \begin{eqnarray}3tg^2(x)+5&=&7sec(x)\\3sec^2(x)+2&=&7sec(x)\\3sec^2(x)-7sec(x)+2&=&0 \end{eqnarray}Usando el cambio de variable $u=sec(x)$ la ecuaci\'on anterior se transforma en: $$3u^2-7u+2=0$$ Cuyas soluciones son: $u_1=2$ y $u_2=\dfrac{1}{3}$, volviendo a las variables originales se tiene que: \begin{eqnarray}sec(x)&=&2 \\ \dfrac{1}{cos(x)}&=&2 \\ cos(x)&=&\dfrac{1}{2}\end{eqnarray} Pero $cos(x)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi $, con $k\in \mathbb{Z}$ \\\\ Tomando la otra soluci\'on se tiene que: \begin{eqnarray}sec(x)&=&\dfrac{1}{3}\\ \dfrac{1}{cos(x)}&=&\dfrac{1}{3} \\ cos(x)&=&3 \end{eqnarray} Claramente la \'ultima ecuaci\'on no tiene soluci\'on, luego la soluci\'on final considerando \'angulos positivos viene dada por $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$, con $k\in \mathbb{Z}$$ Salu2. Mensaje modificado por PXO11 el Dec 11 2012, 03:17 AM

PXO11 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2008, 01:06 AM Publicado: #22
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 64 Registrado: 6-April 07 Miembro Nº: 4.985 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Una rápida y facilita para continuar $TEX: \noindent Resolver:\\\\$cos(x)+sen(x)=1$$ Mensaje modificado por PXO11 el Dec 11 2012, 03:18 AM

camileis Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2008, 11:08 PM Publicado: #23
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 296 Registrado: 26-May 08 Miembro Nº: 24.633 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	-------------------- ex-ingenieria en biotecnologia -USACH 2008 ahora fonoaudiologia -UCH 2009

TeráN! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2009, 01:37 AM Publicado: #24
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 5-May 09 Miembro Nº: 50.342 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propongo una nueva ecuacion $TEX: \[<br />\frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}{\rm{ = }}1 + senx<br />\]<br />$ Mensaje modificado por TeráN! el May 5 2009, 01:57 AM

tomas35 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2009, 03:22 PM Publicado: #25
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 16-November 07 Miembro Nº: 12.727 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Podrian revisar el desarrollo de la pregunta 7 porfa, que segun yo Cos ( a+b ) = cosacosb - senasenb y en el 3er paso de la solucion de tito cambia el - por un + ... Bueno esa era mi duda, ojala me la respondan a la brevedad :S. Como se escriben las ecuaciones mas faciles?? hay una extension del foro??

Cooky Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2009, 02:34 PM Publicado: #26
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 266 Registrado: 29-October 07 Desde: Working on ;) Miembro Nº: 11.962 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(TeráN! @ May 5 2009, 03:37 AM) Propongo una nueva ecuacion $TEX: \[<br />\frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}{\rm{ = }}1 + senx<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{1 - \tan x}}<br />{{1 + \tan x}} = 1 + senx,x \ne \frac{\pi }<br />{2} + k\pi \ne \frac{\pi }<br />{4} + k\pi \\ <br /> \Leftrightarrow \\ <br /> 1 - \frac{{2\tan x}}<br />{{1 + \tan x}} = 1 + senx \\ <br /> - \frac{{2senx}}<br />{{\cos x}} = senx\left( {\frac{{senx}}<br />{{\cos x}} + 1)} \right) \\ <br /> sen^2 x + senx\cos x + 2senx = 0 \\ <br /> senx(senx + 2 + \cos x) = 0 \\ <br /> senx = 0 \vee \underbrace {senx + \cos x = - 2}_{{\text{no es sol}}.,{\text{ }}x \ne \frac{\pi }<br />{2} + k\pi } \\ <br /> senx = 0 \\ <br /> x = \pi + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Propongo la siguiente ecuación :] $TEX: <br />\[<br />\cos (x) + \cos (2x) + \cos (3x) = 0<br />\]<br />$ -------------------- I n g e n i e r i a C i v i l I n d u s t r i a l, U de C

Matthews Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2009, 06:44 PM Publicado: #27
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 80 Registrado: 22-April 08 Desde: Concepción-Chiguayante Miembro Nº: 20.865 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Cooky @ May 29 2009, 03:34 PM) Propongo la siguiente ecuación :] $TEX: <br />\[<br />\cos (x) + \cos (2x) + \cos (3x) = 0<br />\]<br />$ CITA(caf_tito @ Dec 5 2006, 08:01 PM) Solución 7 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0 \hfill \\<br /> \cos x + \cos ^2 x - \sin ^2 x + \cos \left( {2x + x} \right) = 0 \hfill \\<br /> \cos x + \cos ^2 x - \sin ^2 x + \cos 2x\cos x + \sin 2x\sin x = 0 \hfill \\<br /> \cos x + \cos ^2 x - \sin ^2 x + \left( {\cos ^2 x - \sin ^2 x} \right)\cos x + 2\sin x\cos x\sin x = 0 \hfill \\<br /> \cos x + \cos ^2 x - \sin ^2 x + \cos ^3 x - \sin ^2 x\cos x + 2\sin ^2 x\cos x = 0 \hfill \\<br /> \cos x^3 + \cos ^2 x + \sin ^2 x\cos x + \cos x = 0 \hfill \\<br /> \cos x^3 + \cos ^2 x + \left( {1 - \cos ^2 x} \right)\cos x + \cos x = 0 \hfill \\<br /> \cos x^3 + \cos ^2 x + \cos x - \cos ^3 x + \cos x = 0 \hfill \\<br /> \cos ^2 x + 2\cos x = 0 \hfill \\<br /> \cos x\left( {\cos x + 2} \right) = 0 \hfill \\<br /> \cos x = 0{\text{ /}}\arccos {\text{ }} \wedge \cos x = - 2{\text{ /}}\arccos \hfill \\<br /> x_1 = 90;{\text{ }}x_2 = 270{\text{ }}x = {\text{ no se define para negativos}} \hfill \\<br /> \boxed{x_1 = 90;{\text{ }}x_2 = 270} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Ya estaba respondida.... Yo propongo esta: --------------------

Cooky Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2009, 07:14 PM Publicado: #28
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 266 Registrado: 29-October 07 Desde: Working on ;) Miembro Nº: 11.962 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Matthews @ May 29 2009, 08:44 PM) Ya estaba respondida.... Yo propongo esta: hay un error en aquella sol. de cat_nifo (no habia visto que el problema ya estaba), en la tercera linea hay un signo que está mal en el desarrollo de cos(3x), además ni x1 ni x2 cumplen con la ecuación.. Sigue en pie. -------------------- I n g e n i e r i a C i v i l I n d u s t r i a l, U de C

Matthews Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2009, 07:36 PM Publicado: #29
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 80 Registrado: 22-April 08 Desde: Concepción-Chiguayante Miembro Nº: 20.865 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Cooky @ May 29 2009, 08:14 PM) hay un error en aquella sol. de cat_nifo (no habia visto que el problema ya estaba), en la tercera linea hay un signo que está mal en el desarrollo de cos(3x), además ni x1 ni x2 cumplen con la ecuación.. Sigue en pie. wena xD jaja, no habia cachao xD...mi propuesta tambien sigue --------------------

ZodiaC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2009, 08:17 PM Publicado: #30
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 34 Registrado: 18-May 09 Miembro Nº: 51.564 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA $TEX: <br />\[<br />\cos (x) + \cos (2x) + \cos (3x) = 0<br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0 \hfill \\<br /> \cos x + \cos ^2 x - \sin ^2 x + \cos 2x\cos x - \sin 2x\sin x = 0 \hfill \\<br /> \cos x + (\cos ^2 x - 1 + \cos ^2 x) + (\cos ^2 x - \sin ^2 x)\cos x - (2\sin x\cos x)\sin x = 0 \hfill \\<br /> \cos x + 2\cos ^2 x - 1 + (\cos ^2 x - 1 + \cos ^2 x)\cos x - 2\sin ^2 x\cos x = 0 \hfill \\<br /> \cos x + 2\cos ^2 x - 1 + 2\cos ^3 x - \cos x - 2(1 - \cos ^2 )\cos x = 0 \hfill \\<br /> \cos x + 2\cos ^2 x - 1 + 2\cos ^3 x - \cos x - 2\cos x + 2\cos ^3 x = 0 \hfill \\<br /> 4\cos ^3 x + 2\cos ^2 x - 2\cos x - 1 = 0 \hfill \\<br /> (2\cos ^2 x - 1)(2\cos x + 1) = 0 \hfill \\<br /> 2\cos ^2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 45 \hfill \\<br /> 2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 120 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ espero este bien ^^

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