 I2 Variable Compleja, 2s 2009 |
|
|
|
|
|
|
Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad Católica > Variable Compleja  |
 Apr 1 2010, 02:26 PM
Publicado:
#1
|
|
 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434  |
Prof. Alejando Ramirez
![TEX: \noindent<br />\begin{enumerate}<br />\item[(1)] Encuentre la transformación lineal que mapea el círculo $|z| = 2$ en el círculo $|z+1| = 1$, el punto $-2$ en el origen y el origen en $i$.<br />\item[(2)] Considere una función $f$ que es analítica en todo el plano complejo y satisface la desigualdad $|f(z)| \le |p(z)| log|z|$ para $|z| \ge 1000$, donde $p$ es un polinomio. Pruebe que $f$ es un polinomio.<br />\item[(3)] Para cada natural $n$ calcule<br />$$\displaystyle\int_{|z|=1} {\dfrac{e^z}{z^n}} dz$$<br />\item[(4)] Sea $f$ una función meromorfa en una región $\Omega$. Demuestre que el conjunto de polos de $f$ no puede tener un punto de acumulación.<br />\end{enumerate}<br />](./tex/b100ca03deb176505313b69952110d6e.png)
-------------------- |
 |
 
|
|
Sep 12 2010, 05:37 PM
Publicado:
#2
|
|
 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:  |
![TEX: \begin{enumerate}<br />\item[(4)] Sea $z_0\in\Omega$ un punto de acumulación de los polos de $f$ y $U\subset\Omega$ una vecindad de $z_0$. Como $f\in\mathrm M(\Omega),\exists f_1,f_2\in\mathrm H(U)$ con $f_2\not\equiv 0$ y tales que<br />\[f(z)=\frac{f_1(z)}{f_2(z)},\quad\forall z\in U.\]<br />Entonces $\exists\left(z_n\right)_{n\in\mathbb N}$ tal que $z_n\to z_0$ y $f_2\left(z_n\right)=0,\forall n\in\mathbb N$. Pero, por el Principio de la Identidad, sigue que $f_2\equiv 0$ en $U$, lo cual es una contradicción. $\square$<br />\end{enumerate}](./tex/35df43f6955e8094a3a8ced3cb94b6a4.png)
-------------------- |
|
|
|
![TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]](./tex/e0e88dba678ca3ead120b088f41191b2.png)
|
Oct 16 2010, 11:18 PM
Publicado:
#3
|
|
|
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \begin{enumerate}<br />\item[(2)]Sea $\zeta\in\mathbb C$. Como $f$ es entera, para $r\ge 1000\lor|\zeta|$ y $n\in\mathbb N_0$ tenemos que<br />\[\left|f^{n}(\zeta)\right|=\frac{n!}{2\pi}\left|\oint_{|z|=r}\frac{f(z)}{(z-\zeta)^{n+1}}dz\right|\le \frac{n!}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\left|p\left(re^{i\theta}\right)\right|\log r}{\left(r-|\zeta|\right)^{n+1}}rd\theta.\]<br />Luego, si<br />\[p(z)=\sum_{j=0}^ma_jz^j,\]<br />tenemos que<br />\[\left|f^{(n)}(\zeta)\right|\le n!\frac{r^{m+1}\log r}{\left(r-|\zeta|\right)^{n+1}}\max_{0\le j\le m}|a_j|\to 0,\quad r\to\infty,\]<br />cuando $n>m+1$. Por lo tanto, $f^{n}(\zeta)=0, n>m+1$ y sigue que<br />\[f(\zeta)=\sum_{j=0}^{m+1}\frac{f^{(j)}(0)}{j!}\zeta^j.\quad \square\]<br /><br /><br />\item[(3)] Dado que $f(z)=e^z$ es entera, tenemos que<br />\[1=f^{(n-1)}(0)=\frac{(n-1)!}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^n}dz,\]<br />es decir,<br />\[\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^n}dz=\frac{2\pi i}{(n-1)!}.\quad\square\]<br />\end{enumerate}](./tex/a576fd5553584f609e4012b6114c22b3.png)
-------------------- |
|
|
|
|
1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))
0 miembro(s):
| Versión Lo-Fi | Fecha y Hora actual: 4th April 2025 - 05:03 AM |
