 Examen Probabilidades, 2s 2008 |
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 Apr 1 2010, 02:07 PM
Publicado:
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434  |
 ![TEX: \noindent<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Sea $X$ una variable aleatoria cuya función densidad está dada por:<br />$$f_X(x) = \dfrac{3x^2}{7}, 1 < x < 2$$<br />y $0$ en otro caso. Considere una variable aleatoria $Y = g(X)$ cuya distribución corresponde a la de una variable aleatoria Uniforme$(0,1)$. Determine la función $g$. Justifique su respuesta.<br />\item[(b)] Sean $X_1, X_2, X_3$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas Exponencial$(\lambda = 1)$ y $X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}$ los respectivos estadísticos de orden.<br />\begin{enumerate}<br />\item[i.] Muestre que la función densidad de $X_{(2)}$ está dada por:<br />$$f_{X_{(2)}}(k) = 6(1-e^{-k})e^{-2k}, k> 0$$<br />y $0$ en otro caso.<br />\item[ii.] Muestre que la función generadora de momentos de $X_{(2)}$ está dada por:<br />$$M_{X_{(2)}}(t) = \dfrac{6}{2-t}-\dfrac{6}{3-t}, t < 2$$<br />\item[iii.] Calcule el valor esperado de $X_{(2)}$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />](./tex/ed2e5eb58d3e0cfa315a2d2840911489.png)  ![TEX: \noindent<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Sea $X_1, \cdots, X_n$ una sucesión de variables aleatorias indepiendientes e idénticamente distribuidas con función densidad dada por:<br />$$f(x) = e^{-(x-a)}, x \ge a$$<br />y $0$ en otro caso. Muestre que $Y_n = \min \{X_1, \cdots, X_n\}$ converge en probabilidad a $a$.<br />\item[(b)] Sea $X_1, \cdots, X_n$ una sucesión de variables aleatorias indepiendientes e idénticamente distribuidas Uniforme$(0,1)$ y considere las siguientes funciones de ellas:<br />$$Z_n = \max \{X_1, \cdots, X_n\}, V_n = n(1-Z_n), n \ge 1.$$<br />Pruebe que $Z_n$ converge en probabilidad a $1$ y que $V_n$ converge en distribución a una variable aleatoria $Z \sim$ Exponencial$(1)$.<br />\end{enumerate}<br />](./tex/a30984b428722e87c255921513fff8d6.png)  ![TEX: \noindent<br />Una empresa realiza un test de $80$ preguntas (con dos alternativas, una de las cuales es correcta) a dos aspirantes a una jefatura que necesita cubrir urgentemente. Por algún motivo se filtraron $44$ de las preguntas con sus respectivas respuestas y llegaron a manos de un empleado de menor jerarquía. Este empleado muy amigo de uno de los evaluados ($A$) le entrega las $44$ preguntas, pero por si acaso le entrega $16$ de estas preguntas al otro evaluado ($B$). Suponga que ni $A$ ni $B$ supieron del trato del empleado con su competencia. Considere que $A$ y$B$ contestan las preguntas que conocían correctamente con probabilidad $1$ y las que no conocían previamente con probabilidad $1/2$. Si las preguntas son totalmente independientes:<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Calcule aproximadamente la probabilidad que $B$ conteste correctamente por lo menos $50$ preguntas.<br />\item[(b)] Encuentre la distribución de la suma de las respuestas correctas no conocidas previamente por $A$ y $B$. Identifique sus parámetros.<br />\item[©] Calcule aproximadamente la probabilidad que el número de preguntas que no conocían previamente y que fueron contestadas correctamente por $B$ y $A$ en total suman más de $40$ respuestas correctas.<br />\end{enumerate}<br />](./tex/cac23c8a9e8333ecfd129351fbe13438.png)
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